Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é
) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura
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Que ensemble pode ser usado para descrever o comportamento deste
50 oscilador?
Informações relevantes:
Que ensemble pode ser usado para descrever o comportamento deste
50 oscilador?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um oscilador harmônico quântico unidimensional que está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor a uma certa temperatura $ T $. O que a gente precisa descobrir é qual “ensemble” (conjunto estatístico) é o mais adequado para descrever o comportamento desse oscilador. Para resolver isso, vamos mexer um pouco com a mecânica quântica e a estatística térmica, mas de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um “ensemble”. Em física estatística, um ensemble é um conjunto imaginário de sistemas idênticos que ajudam a estudar as propriedades de um sistema real em equilíbrio. Existem diferentes tipos de ensembles, dependendo de como o sistema pode interagir com o ambiente:
- Ensemble Microcanônico: Sistema isolado, com energia fixa, número de partículas e volume constante.
- Ensemble Canônico: Sistema que pode trocar energia com o ambiente (reservatório de calor), mas tem número de partículas e volume fixos.
- Ensemble Grande Canônico: Sistema que pode trocar tanto energia quanto partículas com o ambiente.
Passo 3
No nosso caso, o oscilador está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor. Isso significa que ele pode trocar energia com o reservatório, mas o número de partículas e o volume provavelmente permanecem constantes. Portanto, o ensemble que melhor se encaixa aqui é o ensemble canônico.
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais: no ensemble canônico, a probabilidade de o sistema estar em um estado de energia $ E_i $ é dada pela distribuição de Boltzmann:
onde $ \beta = \frac{1}{k_B T} $ (com $ k_B $ sendo a constante de Boltzmann) e $ Z $ é a função de partição definida por:
Essa formulação é perfeita para sistemas que podem trocar energia com um reservatório, como é o caso do nosso oscilador.
Passo 5
Além disso, considerando que o oscilador harmônico quântico tem níveis de energia discretos dados por:
A função de partição no ensemble canônico para o oscilador seria:
Isso confirma que o ensemble canônico é apropriado, já que ele lida bem com sistemas de energia discreta em contato com um reservatório de calor.
Resposta
O ensemble canônico é o mais adequado para descrever o comportamento deste oscilador harmônico quântico unidimensional em equilíbrio térmico com um reservatório de calor.