Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é hbar omega2 ) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura T.
Que ensemble pode ser usado para descrever o comportamento deste
50 oscilador?
Informações relevantes:
l Gamma(t+1)=integral0^infty z^t cdot exp (-z) cdot d z=t cdot Gamma(t) wed>= Gamma(t+n)=(t+n-1) cdot(t+n-2) ldots(t+1) cdot t cdot Gamma(t) onde n é um n positivo Se n^circ t=1 , Gamma(n+1)=n!=n cdot(n-1) (n-2) ldots 1 cdot Gamma(1) ; Gamma(12)=raizpi integral0^infty x^3 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=12 cdot a^2 wed>= integral0^infty x^4 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=38 a^2 raizpia integral0^infty z^2 cdot d ze^z-1=2,41 ; integral0^infty z^3 cdot d ze^z-1=pi^415 ; me=9,11 times 10^-31 kg=0,511 MeV / C^2 kB=1.38 times 10^-23 J / K=8.62 times 10^-5 eV / K ; h=6.63 times 10^-34 J s=4,136 times 10^-15 eV s ; gB E=8 pi cdot E^2(h c)^3 wed>= gF D=8 cdot raiz2 cdot pi cdot me 32h^3 cdot E^12 ; h2 pi=1.055 times 10^-34 Js=6.582 times 10^-16 eV cdot s rhoA l=2.7 gcm^3, muA l=26.98 gmol, E=h^22 me(3 N8 pi V)^23, NA=6.02 times 10^23 particulas mol , integral0^infty x^p d xe^x-1=Gamma(p+1) zeta(p+1) ; cosh varphi=e^varphi+e^-varphi2, Senh varphi=e^varphi-e^-varphi2 ; sumn=0^infty exp (-n beta hbar omega)=1+exp (-beta hbar omega)+exp (-2 beta hbar omega)+exp (-3 beta hbar omega)+cdots =11-exp (-beta hbar omega) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um oscilador harmônico quântico unidimensional que está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor a uma certa temperatura $ T $. O que a gente precisa descobrir é qual “ensemble” (conjunto estatístico) é o mais adequado para descrever o comportamento desse oscilador. Para resolver isso, vamos mexer um pouco com a mecânica quântica e a estatística térmica, mas de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um “ensemble”. Em física estatística, um ensemble é um conjunto imaginário de sistemas idênticos que ajudam a estudar as propriedades de um sistema real em equilíbrio. Existem diferentes tipos de ensembles, dependendo de como o sistema pode interagir com o ambiente:
  1. Ensemble Microcanônico: Sistema isolado, com energia fixa, número de partículas e volume constante.
  2. Ensemble Canônico: Sistema que pode trocar energia com o ambiente (reservatório de calor), mas tem número de partículas e volume fixos.
  3. Ensemble Grande Canônico: Sistema que pode trocar tanto energia quanto partículas com o ambiente.

Passo 3

No nosso caso, o oscilador está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor. Isso significa que ele pode trocar energia com o reservatório, mas o número de partículas e o volume provavelmente permanecem constantes. Portanto, o ensemble que melhor se encaixa aqui é o ensemble canônico.

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais: no ensemble canônico, a probabilidade de o sistema estar em um estado de energia $ E_i $ é dada pela distribuição de Boltzmann:
Ei
onde $ \beta = \frac{1}{k_B T} $ (com $ k_B $ sendo a constante de Boltzmann) e $ Z $ é a função de partição definida por:
P(Ei) = e^-beta EiZ
Essa formulação é perfeita para sistemas que podem trocar energia com um reservatório, como é o caso do nosso oscilador.

Passo 5

Além disso, considerando que o oscilador harmônico quântico tem níveis de energia discretos dados por:
En = (n + 12)hbar omega com n = 0,1,2,ldots
A função de partição no ensemble canônico para o oscilador seria:
Z = sumn=0^infty e^-beta (n + 12)hbar omega = e^-beta hbar omega21 - e^-beta hbar omega
Isso confirma que o ensemble canônico é apropriado, já que ele lida bem com sistemas de energia discreta em contato com um reservatório de calor.

Resposta

O ensemble canônico é o mais adequado para descrever o comportamento deste oscilador harmônico quântico unidimensional em equilíbrio térmico com um reservatório de calor.

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