Aplique o teorema de Greem para calcular ointC[y^2 d x+2 x^2 d y], no caminho (0,0) a (1,2) e (1,2) a (0,2) (triângulo no sentido horário)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha ao redor de um triângulo que vai de para e depois para , voltando para o ponto de partida, tudo isso no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x em relação a partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y :
Depois, a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 4x - 2y ) dx,dy
Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. Nosso triângulo vai de a e depois a . Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor os limites de integração.

Passo 5

O triângulo está no plano onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2. Mas precisamos expressar em função de para definir os limites inferiores e superiores para a integração. A linha que vai de a tem a equação , e a linha que vai de a é simplesmente .

Passo 6

Portanto, para cada integralx=0^1 integraly=2x^2 (4x - 2y) , dy , dx de 0 a 1, varia de até 2. Então, nossa integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar integraly=2x^2 (4x - 2y) , dy = [4x y - y^2]2x^2 = (4x cdot 2 - 2^2) - (4x cdot 2x - (2x)^2) = (8x - 4) - (8x^2 - 4x^2) = 8x - 4 - 4x^2 em relação a :

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1 (8x - 4 - 4x^2) , dx = [4x^2 - 4x - 43x^3]0^1 = (4 cdot 1^2 - 4 cdot 1 - 43 cdot 1^3) - 0 = (4 - 4 - 43) = -43 de 0 a 1:

Resposta

A integral de linha ao redor do triângulo no sentido horário é .

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