Aplique o teorema de Greem para calcular
, no caminho
a
e
a
(triângulo no sentido horário)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha
ao redor de um triângulo que vai de
para
e depois para
, voltando para o ponto de partida, tudo isso no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
. Ou seja:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. Nosso triângulo vai de
a
e depois a
. Vamos desenhar esse triângulo para visualizar melhor os limites de integração.
Passo 5
O triângulo está no plano onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a 2. Mas precisamos expressar
em função de
para definir os limites inferiores e superiores para a integração. A linha que vai de
a
tem a equação
, e a linha que vai de
a
é simplesmente
.
Passo 6
Portanto, para cada
de 0 a 1,
varia de
até 2. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar
em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
de 0 a 1:
Resposta
A integral de linha
ao redor do triângulo no sentido horário é
.