Suponha agora que y = 2/x + u é também uma solução para a edo y' - 2/x^2 + y^2 = 0. Mostre que a funçã̃o u deve satisfazer a EDO de Bernoulli
u' + 4/x u = -u^2

Passo 1

Vamos lá! A questão nos diz que é solução da equação diferencial . Nosso objetivo é descobrir qual equação precisa satisfazer. Para isso, vamos substituir na equação original e simplificar até chegar na famosa equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como , temos:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos expandir o termo quadrado :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:

Passo 6

Rearranjando a equação para deixá-la no formato padrão de Bernoulli:

Resposta

A função deve satisfazer a EDO de Bernoulli:

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