Utilize a mudança de variável 2v = u^-1 para reescrever a Bernoulli anterior como a EDO linear v' - 4/x v = 1.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício onde precisamos transformar uma equação de Bernoulli em uma equação diferencial ordinária (EDO) linear usando a substituição . Vamos usar conceitos de equações diferenciais para fazer essa mudança de variável e chegar na forma linear da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma EDO que tem a forma geral:
Onde e são funções de , e é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma linear.

Passo 3

A dica do exercício é usar a mudança de variável . Isso significa que vamos expressar em termos de e substituir na equação original. Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Então, podemos escrever em termos de e :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação de Bernoulli original. Supondo que a equação original seja algo como:
Após substituir, teremos uma equação em termos de e .

Passo 6

Aplicando a substituição e simplificando os termos, chegamos na forma linear da EDO:
Essa é a equação linear que precisávamos encontrar usando a mudança de variável indicada.

Resposta

A equação de Bernoulli foi reescrita como a EDO linear usando a substituição .

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