Utilize a mudança de variável
para reescrever a Bernoulli anterior como a EDO linear
.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício onde precisamos transformar uma equação de Bernoulli em uma equação diferencial ordinária (EDO) linear usando a substituição
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para fazer essa mudança de variável e chegar na forma linear da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma EDO que tem a forma geral:
Onde
e
são funções de
, e
é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma linear.
Passo 3
A dica do exercício é usar a mudança de variável
. Isso significa que vamos expressar
em termos de
e substituir na equação original. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Então, podemos escrever
em termos de
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação de Bernoulli original. Supondo que a equação original seja algo como:
Após substituir, teremos uma equação em termos de
e
.
Passo 6
Aplicando a substituição e simplificando os termos, chegamos na forma linear da EDO:
Essa é a equação linear que precisávamos encontrar usando a mudança de variável indicada.
Resposta
A equação de Bernoulli foi reescrita como a EDO linear
usando a substituição
.