Seja $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ a função dada por $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y+5$ .
Seja $\mathcal{C}$ a curva de $\mathbb{R}^{3}$ que é a interseção do gráfico de $f$ com o plano de equação $z=24$ . Determine uma equação paramétrica para a reta tangente à curva $\mathcal{C}$ no ponto $Q=(1,3,24)$ .

O enunciado define

f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

f(x,y)=x^3+y^3-3xy+5,

e a curva

\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^3

dada pela interseção do gráfico de

f

com o plano

z=24

. Queremos a reta tangente a

\mathcal{C}

no ponto

Q=(1,3,24)

. Para isso, vamos usar que

\mathcal{C}

é a interseção de duas superfícies implícitas e que a reta tangente é ortogonal aos normais dessas superfícies em

Q

Definimos as superfícies

g(x,y,z)=z - f(x,y)=0,

h(x,y,z)=z - 24=0.

Seus vetores normais são

\nabla g(x,y,z)=\bigl(-f_x(x,y),\,-f_y(x,y),\,1\bigr)

\nabla h(x,y,z)=(0,0,1)

Calculamos as derivadas parciais de

f

e as avaliamos em

(1,3)

f_x(x,y)=3x^2-3y,\quad f_y(x,y)=3y^2-3x,

f_x(1,3)=3\cdot1^2-3\cdot3=-6,\quad f_y(1,3)=3\cdot3^2-3\cdot1=24.

Logo

\nabla g(1,3,24)=\bigl(-(-6),\,-24,\,1\bigr)=(6,-24,1)

\nabla h(1,3,24)=(0,0,1)

Um vetor direção

\mathbf v=(v_x,v_y,v_z)

da reta tangente deve satisfazer

\mathbf v\cdot\nabla g(1,3,24)=0, \quad \mathbf v\cdot\nabla h(1,3,24)=0.

Da segunda equação vem

v_z=0

. Da primeira:

6v_x - 24v_y + 1\cdot v_z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6v_x - 24v_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_x = 4v_y.

Tomando

v_y=1

obtemos

\mathbf v=(4,1,0)

A reta tangente em

Q

com direção

\mathbf v

\mathbf r(t)=Q + t\,\mathbf v = (1,3,24) + t\,(4,1,0).

x = 1 + 4t,\quad y = 3 + t,\quad z = 24.

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