Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
(Dica: Utilize a propriedade do deslocamento no tempo)
Passo 1
O enunciado fornece a transformada unilateral
e pede a transformada inversa (sinal no domínio do tempo). A dica indica usar a propriedade de deslocamento no tempo. Dados e pedidos claros:
- Dado:
(separei mentalmente as partes). - Pedido: encontrar
, sinal no domínio do tempo (unilateral), explicitando o efeito do termo .
Passo 2
Explicar a propriedade de deslocamento no tempo (que vamos usar): se
com transformada unilateral padrão, então vale
onde
é a função degrau unitário,
é o deslocamento e
significa que a forma de
aparece apenas para
. Na prática, para inverter um termo do tipo
basta:
.
Aplicando isso ao nosso
vemos que podemos separar em duas parcelas:
Então inverteremos
diretamente e
usando o deslocamento com
.
Passo 3
Inversão de
por frações parciais. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtém-se a identidade
Comparando coeficientes: no termo em
vem
. No termo independente vem
. Resolvendo:
- Subtraindo:
. - Então
.
Logo
Agora aplico a inversa padrão
. Assim, para
,
ou, incluindo explicitamente o degrau,
Passo 4
Inversão de
. Primeiro encontro a inversa de
sem deslocamento, por frações parciais:
Procuro e
tais que
Procuro
Multiplicando:
Comparando coeficientes:
(coeficiente de
) e
(constante). Subtraindo:
. Então
. Portanto
e a inversa corresponde a
ou
.
Agora uso o deslocamento: multiplicar por
corresponde a deslocar
em
:
Multiplicando por
(constante multiplicativa), obtemos
Passo 5
Combino
e
. Como a transformada é linear,
Substituindo as expressões obtidas:
Passo 6
Para ver de maneira mais prática (útil na prova), posso escrever a forma peça-por-peça:
- Para
: (unilateral). - Para
: e , então . - Para
: ambos os degraus valem 1, então
Isso ajuda a avaliar continuidade, limites e a testar respostas na prova.