Para um sistema com a função de transferência
(a) Encontre a equação diferencial que descreve o sistema relacionando a saida
com a entrada
.
(b) Encontre a resposta de estado nulo do sistema para uma entrada igual a:
(i)
(ii)
(iii)
(b) Encontre a resposta de estado nulo do sistema para uma entrada igual a:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- (a) obter a equação diferencial que relaciona a saída
com a entrada ; - (b) encontrar a resposta de estado nulo (ou seja, supondo condições iniciais nulas) para três entradas:
-
, -
, -
.
-
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O denominador
fatoriza como . - Estado nulo significa que todas as condições iniciais são zero; assim podemos usar a relação simples
(multiplicação de transformadas de Laplace).
Passo 2
(a) Obter a equação diferencial a partir de
.
Partindo de
multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Na teoria de sistemas lineares invariantes no tempo, a variável complexa
corresponde ao operador diferencial
(onde
significa derivada em relação a
:
,
, etc.). Aplicando a transformada inversa de Laplace e a correspondência
(válida quando interpretamos a equação no sentido de operadores lineares com condições iniciais nulas ou na forma operacional), obtemos a equação diferencial no domínio do tempo:
Aqui
significa o operador
. Essa é exatamente a equação pedida.
Passo 3
(b) Estratégia para resposta de estado nulo:
- Usar transformada de Laplace: para entrada
tem-se (para ). - Como estamos em estado nulo,
. - Fazer decomposição em frações parciais de
e aplicar transformadas inversas conhecidas: -
. -
.
-
- Para um sinal deslocado
(causado por um atraso), usar a propriedade de deslocamento no tempo: se então . Para LTI causal, a saída correspondente é a versão deslocada da resposta não atrasada: .
Agora aplicamos passo a passo para cada entrada.
Passo 4
(b)(i) Para
.
Calcular
:
Portanto
Usando
, temos
Fazer decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando por
obtemos a identidade
Determinar
avaliando em raízes simples e/ou comparando coeficientes:
- Em
: - Em
: - Usar
para achar : .
Substituindoe dá
Logo
Aplicando transformada inversa termo a termo (e lembrando do
):
Passo 5
(b)(ii) Para
.
Calcular
:
Portanto
Decompondo em frações parciais na forma
temos a identidade
Determinar
avaliando em
:
- Em
: - Em
: - Em
:
Portanto
Aplicando transformada inversa:
Passo 6
(b)(iii) Para
.
Reconhecer que essa entrada é simplesmente um atraso de
segundos da função
:
Pela propriedade de deslocamento no tempo de sistemas LTI causais, a resposta a essa entrada é o atraso em
s da resposta ao sinal não atrasado (obtida no item (ii)). Assim, tomando a resposta
do item (ii) e deslocando em
:
Substituindo
do item (ii) obtemos