Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
(a) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=x-2 y \\\ \frac{d y}{d t}=5 x-y\end{array}\right., sujeito às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.
(b) \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}-2 y=4 t \\\ y^{\prime}+2 y-4 x=-4 t-2\end{array}\right. sujeio às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.
(c) \left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime \prime}+10 x_{1}-4 x_{2}=0 \\\\ -4 x_{1}+x_{2}^{\prime \prime}+4 x_{2}=0\end{array}\right. sujeito às condições iniciais x_{1}(0)=0, x_{1}^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=0 e x_{2}^{\prime}(0)=-1
Passo 1
Aqui está o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Há três sistemas diferentes para resolver aplicando a transformada de Laplace, cada um com condições iniciais. Vou listar claramente cada pergunta e seus dados:
com condições iniciais \;x_1(0)=0,\;x_1'(0)=1,\;x_2(0)=0,\;x_2'(0)=-1.
Nada mais é pedido além de encontrar as funções x(t),y(t) (no caso (a) e (b)) e x_1(t),x_2(t) (no caso (c)) que satisfaçam os sistemas e as condições iniciais.]
Passo 2
Breve revisão (passo-a-passo, tipo “aula rápida”) das ferramentas que usaremos — Laplace e propriedades essenciais — para você conseguir reproduzir isso numa prova.
Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função f(t) é uma função de s definida por
Inversa: para voltar ao tempo a partir de expressões racionais em s usamos decomposição em frações parciais e a tabela acima. Se tiver termos do tipo 1/(s^2+a^2) devolve \frac{1}{a}\sin(at); s/(s^2+a^2) devolve \cos(at).
Na prova: aplicar a Laplace termo a termo, formar um sistema linear em X(s),Y(s) (ou X_1(s),X_2(s)), resolver por álgebra (eliminação ou determinantes), depois inverter transformada com frações parciais.
Passo 3
Resolver (a) passo a passo.
Aplicar Laplace nas duas equações. Denoto [X(s)=\mathcal{L}{x(t)}) e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando \mathcal{L}\{x'\}=sX(s)-x(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0):
Note que s^2+2s-8=(s+4)(s-2). O numerador fatora: 2s^3-6s^2-4s+16=2(s-2)(s^2-s-4) (verificando pela divisão). Cancelando (s-2) com o denominador, obtemos
Y(s)=\frac{2\bigl(s^2-s-4\bigr)}{s^2(s+4)}.
Faço frações parciais: proponho
Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando por s^2(s+4) e igualando coeficientes resulta em B=-2,\;A=0,\;C=2 (cálculo direto ao comparar coeficientes). Assim
Y(s)=-\frac{2}{s^2}+\frac{2}{s+4}.
Inverso de Laplace:
y(t)=-2t+2e^{-4t}.
Determinar X(s) usando a relação sX-2Y=\dfrac{4}{s^2}-1. Temos
Resolver (c) passo a passo (equações de segunda ordem acopladas).
Denoto X_1(s)=\mathcal{L}\{x_1(t)\},\;X_2(s)=\mathcal{L}\{x_2(t)\}\). Aplico Laplace às duas equações, lembrando
\[\mathcal{L}\{x_1''\}=s^2X_1 - s x_1(0)-x_1'(0),
e dados iniciais x_1(0)=0,\;x_1'(0)=1, e para x_2: x_2(0)=0,\;x_2'(0)=-1.
Da segunda: 6A+B=-3. Subtraindo a primeira da segunda: (6A+B)-(A+B)=-3-(-1)\Rightarrow 5A=-2\Rightarrow A=-\frac{2}{5}. Então B=-1-A=-1+\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}.