1. Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
    (a) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=x-2 y \\\ \frac{d y}{d t}=5 x-y\end{array}\right., sujeito às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.
    (b) \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}-2 y=4 t \\\ y^{\prime}+2 y-4 x=-4 t-2\end{array}\right. sujeio às condições iniciais x(0)=-1, y(0)=2.
    (c) \left\{\begin{array}{c}x_{1}^{\prime \prime}+10 x_{1}-4 x_{2}=0 \\\\ -4 x_{1}+x_{2}^{\prime \prime}+4 x_{2}=0\end{array}\right. sujeito às condições iniciais x_{1}(0)=0, x_{1}^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=0 e x_{2}^{\prime}(0)=-1

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Há três sistemas diferentes para resolver aplicando a transformada de Laplace, cada um com condições iniciais. Vou listar claramente cada pergunta e seus dados:
(a) Resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt}=x-2y,\\[6pt] \displaystyle \frac{dy}{dt}=5x-y, \end{cases}
com condições iniciais [;x(0)=-1,;y(0)=2).
(b) Resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle x'-2y=4t,\\[6pt] \displaystyle y'+2y-4x=-4t-2, \end{cases}
com condições iniciais (;x(0)=-1,;y(0)=2].
(c) Resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle x_1''+10x_1-4x_2=0,\\[6pt] \displaystyle -4x_1+x_2''+4x_2=0, \end{cases}
com condições iniciais \;x_1(0)=0,\;x_1'(0)=1,\;x_2(0)=0,\;x_2'(0)=-1.
Nada mais é pedido além de encontrar as funções x(t),y(t) (no caso (a) e (b)) e x_1(t),x_2(t) (no caso (c)) que satisfaçam os sistemas e as condições iniciais.]

Passo 2

Breve revisão (passo-a-passo, tipo “aula rápida”) das ferramentas que usaremos — Laplace e propriedades essenciais — para você conseguir reproduzir isso numa prova.
  • Definição (intuição): a transformada de Laplace de uma função f(t) é uma função de s definida por
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
mas você não precisa calcular integrais aqui: usaremos tabela de transformadas padrão.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada de derivadas (ferramenta crucial):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-s f(0)-f'(0).
Essas fórmulas nos permitem transformar equações diferenciais em equações algébricas em s.
  • Transformadas úteis (tabela curta):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2},
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.
  • Inversa: para voltar ao tempo a partir de expressões racionais em s usamos decomposição em frações parciais e a tabela acima. Se tiver termos do tipo 1/(s^2+a^2) devolve \frac{1}{a}\sin(at); s/(s^2+a^2) devolve \cos(at).
Na prova: aplicar a Laplace termo a termo, formar um sistema linear em X(s),Y(s) (ou X_1(s),X_2(s)), resolver por álgebra (eliminação ou determinantes), depois inverter transformada com frações parciais.

Passo 3

Resolver (a) passo a passo.
  1. Aplicar Laplace nas duas equações. Denoto [X(s)=\mathcal{L}{x(t)}) e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando \mathcal{L}\{x'\}=sX(s)-x(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0):
Para \displaystyle \frac{dx}{dt}=x-2y:
sX(s)-x(0)=X(s)-2Y(s).
Como x(0)=-1, isso fica
sX(s)+1 = X(s)-2Y(s).
Rearranjando:
(s-1)X(s)+2Y(s)=-1.
Para \displaystyle \frac{dy}{dt}=5x-y:
sY(s)-y(0)=5X(s)-Y(s).
Com y(0)=2:
sY(s)-2 = 5X(s)-Y(s).
Rearranjando:
-5X(s)+(s+1)Y(s)=2.
  1. Temos o sistema linear (em s):
\begin{cases} (s-1)X+2Y=-1,\\\\ -5X+(s+1)Y=2. \end{cases}
  1. Resolver para X(s)\]. Substituo \(Y da primeira em segunda ou uso eliminação. Vou isolar Y da primeira:
Y=\frac{-1-(s-1)X}{2}.
Substituo na segunda:
-5X+(s+1)\frac{-1-(s-1)X}{2}=2.
Multiplico por 2 para eliminar denominador:
-10X-(s+1)\bigl(1+(s-1)X\bigr)=4.
Expando:
-10X-(s+1)-(s+1)(s-1)X=4.
Calculo (s+1)(s-1)=s^2-1. Então os termos com X:
-\bigl(10X + (s^2-1)X\bigr) - (s+1) =4.
Ou
-(s^2+9)X - (s+1)=4.
Logo
-(s^2+9)X = s+5.
Portanto
X(s)=-\frac{s+5}{s^2+9}.
  1. Agora obtenho Y(s) usando a relação anterior:
Y=\frac{-1-(s-1)X}{2}.
Substituo X(s):
Y(s)=\frac{-1-(s-1)\left(-\dfrac{s+5}{s^2+9}\right)}{2} =\frac{-1+\dfrac{(s-1)(s+5)}{s^2+9}}{2}.
Faço o numerador comum:
-1=\frac{-(s^2+9)}{s^2+9},\quad (s-1)(s+5)=s^2+4s-5.
Logo numerador:
\frac{- (s^2+9) + (s^2+4s-5)}{s^2+9}=\frac{4s-14}{s^2+9}=\frac{2(2s-7)}{s^2+9}.
Dividindo por 2
Y(s)=\frac{2s-7}{s^2+9}.
  1. Inversão: escrevo X(s) e Y(s) em termos conhecidos:
X(s)=-\frac{s}{s^2+9}-\frac{5}{s^2+9}, \qquad Y(s)=\frac{2s}{s^2+9}-\frac{7}{s^2+9}.
Usando a tabela:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^2+3^2}\right\}=\cos(3t),\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s^2+3^2}\right\}=\sin(3t).
Portanto
x(t)=-\cos(3t)-\frac{5}{3}\sin(3t),
y(t)=2\cos(3t)-\frac{7}{3}\sin(3t).

Passo 4

Resolver (b) passo a passo. Vou aplicar a mesma técnica: Laplace, sistema algébrico, resolver e inverter.
  1. Denoto [X(s)=\mathcal{L}{x(t)},;Y(s)=\mathcal{L}{y(t)}). Transformo cada equação.
Primeira equação \;x'-2y=4t:
sX(s)-x(0)-2Y(s)=\mathcal{L}\{4t\}=\frac{4}{s^2}.
Com x(0)=-1 obtemos
sX(s)+1-2Y(s)=\frac{4}{s^2},
ou
sX(s)-2Y(s)=\frac{4}{s^2}-1.
Segunda equação \;y'+2y-4x=-4t-2:
sY(s)-y(0)+2Y(s)-4X(s)=\mathcal{L}\{-4t-2\}=-\frac{4}{s^2}-\frac{2}{s}.
Com y(0)=2:
sY(s)-2+2Y(s)-4X(s)=-\frac{4}{s^2}-\frac{2}{s}.
Rearranjando:
-4X(s)+(s+2)Y(s)=-\frac{4}{s^2}-\frac{2}{s}+2.
  1. Temos o sistema:
\begin{cases} sX-2Y=\dfrac{4}{s^2}-1,\\[6pt] -4X+(s+2)Y=-\dfrac{4}{s^2}-\dfrac{2}{s}+2. \end{cases}
  1. Isolo X\] da primeira: \(X=\dfrac{2Y+\dfrac{4}{s^2}-1}{s}. Substituo na segunda. Para poupar erros, multiplico por s quando necessário.
Substituindo e multiplicando ambos os lados por s para remover denominador em X:
-4\bigl(2Y+\frac{4}{s^2}-1\bigr)+(s+2)sY = s\Bigl(-\frac{4}{s^2}-\frac{2}{s}+2\Bigr).
Expandindo:
-8Y-\frac{16}{s^2}+4 + (s^2+2s)Y = -\frac{4}{s}-2+2s.
Agrupando os termos em Y:
\bigl(s^2+2s-8\bigr)Y = 2s-6 -\frac{4}{s}+\frac{16}{s^2}.
Faço um único numerador para o lado direito (colocando sobre s^2):
\text{RHS}=\frac{2s^3-6s^2-4s+16}{s^2}.
Assim
Y(s)=\frac{2s^3-6s^2-4s+16}{s^2\bigl(s^2+2s-8\bigr)}.
Note que s^2+2s-8=(s+4)(s-2). O numerador fatora: 2s^3-6s^2-4s+16=2(s-2)(s^2-s-4) (verificando pela divisão). Cancelando (s-2) com o denominador, obtemos
Y(s)=\frac{2\bigl(s^2-s-4\bigr)}{s^2(s+4)}.
  1. Faço frações parciais: proponho
Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando por s^2(s+4) e igualando coeficientes resulta em B=-2,\;A=0,\;C=2 (cálculo direto ao comparar coeficientes). Assim
Y(s)=-\frac{2}{s^2}+\frac{2}{s+4}.
Inverso de Laplace:
y(t)=-2t+2e^{-4t}.
  1. Determinar X(s) usando a relação sX-2Y=\dfrac{4}{s^2}-1. Temos
sX = 2Y + \frac{4}{s^2}-1.
Substituo Y(s):
2Y = -\frac{4}{s^2}+\frac{4}{s+4},
então
sX = -\frac{4}{s^2}+\frac{4}{s+4} + \frac{4}{s^2} -1 = \frac{4}{s+4}-1.
Logo
X(s)=\frac{4}{s(s+4)}-\frac{1}{s}.
Faço frações parciais em \dfrac{4}{s(s+4)}: isso vale \dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+4}. Portanto
X(s)=\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4}\right)-\frac{1}{s}=-\frac{1}{s+4}.
Invertendo:
x(t)=-e^{-4t}.]

Passo 5

Resolver (c) passo a passo (equações de segunda ordem acopladas).
  1. Denoto X_1(s)=\mathcal{L}\{x_1(t)\},\;X_2(s)=\mathcal{L}\{x_2(t)\}\). Aplico Laplace às duas equações, lembrando \[\mathcal{L}\{x_1''\}=s^2X_1 - s x_1(0)-x_1'(0),
e dados iniciais x_1(0)=0,\;x_1'(0)=1, e para x_2: x_2(0)=0,\;x_2'(0)=-1.
Primeira equação \;x_1''+10x_1-4x_2=0:
\bigl(s^2X_1 - s\cdot 0 -1\bigr)+10X_1-4X_2=0.
Ou
(s^2+10)X_1-4X_2=1.
Segunda equação \;-4x_1+x_2''+4x_2=0:
-4X_1+\bigl(s^2X_2 - s\cdot 0 -(-1)\bigr)+4X_2=0.
Observe - s\cdot0 -(-1)=+1. Então
-4X_1+(s^2+4)X_2 = -1.
  1. Temos o sistema linear em X_1,X_2:
\begin{cases} (s^2+10)X_1-4X_2=1,\\[4pt] -4X_1+(s^2+4)X_2=-1. \end{cases}
  1. Resolver pelo método dos determinantes (Cramer) ou eliminação. Determinante comum:
D=(s^2+10)(s^2+4)-(-4)(-4)=(s^2+10)(s^2+4)-16.
Expando:
D=s^4+14s^2+40-16=s^4+14s^2+24.
Fatoro (D=(s2+2)(s2+12)] (verificação: soma 2+12=14, produto 24).
Determinantes numeradores:
D_1=\begin{vmatrix}1 & -4\\\\ -1 & s^2+4\end{vmatrix}=1\cdot(s^2+4)-(-4)(-1)=s^2+4-4=s^2.
D_2=\begin{vmatrix}s^2+10 & 1\\\\ -4 & -1\end{vmatrix}=(s^2+10)(-1)-1\cdot(-4)=-s^2-10+4=-(s^2+6).
Logo
X_1(s)=\frac{D_1}{D}=\frac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}, \qquad X_2(s)=\frac{D_2}{D}=-\frac{s^2+6}{(s^2+2)(s^2+12)}.]

Passo 6

Inversão das transformadas em (c) via frações parciais.
  1. Para X_1(s)=\dfrac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)} proponho
\frac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}=\frac{A}{s^2+2}+\frac{B}{s^2+12}.
Multiplicando ambos os lados por (s^2+2)(s^2+12):
s^2 = A(s^2+12)+B(s^2+2)=(A+B)s^2+(12A+2B).
Comparando coeficientes:
A+B=1,\qquad 12A+2B=0.
Da segunda: 6A+B=0\Rightarrow B=-6A. Substituindo na primeira:
A-6A=1\Rightarrow -5A=1\Rightarrow A=-\frac{1}{5},\quad B=\frac{6}{5}.
Portanto
X_1(s)=-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s^2+2}+\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{s^2+12}.
Agora inverto: lembre que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+a^2}\}=\tfrac{1}{a}\sin(at). Aqui a=\sqrt{2} e a=2\sqrt{3} respectivamente. Logo
x_1(t)=-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)+\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).
Simplificando os coeficientes:
x_1(t)=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)+\frac{3}{5\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).
  1. Para X_2(s)=-\dfrac{s^2+6}{(s^2+2)(s^2+12)} faço análogo:
-\frac{s^2+6}{(s^2+2)(s^2+12)}=\frac{A}{s^2+2}+\frac{B}{s^2+12}.
Multiplicando:
-(s^2+6)=A(s^2+12)+B(s^2+2)=(A+B)s^2+(12A+2B).
Comparando coeficientes:
A+B=-1,\qquad 12A+2B=-6.
Da segunda: 6A+B=-3. Subtraindo a primeira da segunda: (6A+B)-(A+B)=-3-(-1)\Rightarrow 5A=-2\Rightarrow A=-\frac{2}{5}. Então B=-1-A=-1+\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}.
Assim
X_2(s)=-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{s^2+2}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^2+12}.
Invertendo:
x_2(t)=-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).
Simplificando:
x_2(t)=-\frac{2}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)-\frac{3}{10\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t).

Resposta

(a) x(t)=-\cos(3t)-\dfrac{5}{3}\sin(3t)
\quad y(t)=2\cos(3t)-\dfrac{7}{3}\sin(3t)
(b) x(t)=-e^{-4t}
\quad y(t)=-2t+2e^{-4t}
(c) x_1(t)=-\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)+\dfrac{3}{5\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t)
\quad x_2(t)=-\dfrac{2}{5\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)-\dfrac{3}{10\sqrt{3}}\sin(2\sqrt{3}\,t)

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