Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as raízes complexas da equação
Informações relevantes dadas:
Como é um polinômio de grau
, esperamos
raízes no total, contadas com multiplicidade. A partir daqui vou procurar fatores polinomiais simples (testando raízes óbvias) e depois resolver os fatores restantes.
Passo 2
Teste uma raiz óbvia:
. Calculo
detalhadamente:
Agora somando em ordem:
Logo
. Conclusão:
é raiz do polinômio.
Passo 3
Como
é raiz, podemos dividir
por
. Vou fazer divisão sintética (mais direta para usar na prova):
Coeficientes de
do grau
ao
:
Aplicando sintética com
:
O resto é
. O quociente é o polinômio de grau
com coeficientes
. Assim
Passo 4
Agora fatoramos o quociente
. Observe que podemos agrupar:
Portanto
Boa — já temos a fatoração completa em fatores relativamente simples.
Passo 5
As raízes aparecem onde cada fator anula-se. Do fator
obtemos a raiz real
com multiplicidade
.
Resta resolver
, i.e.
Passo 6
Vou explicar como encontrar as raízes de
de forma didática.
- Passo conceitual (forma polar): um número complexo
pode ser escrito em forma polar como , onde é o módulo e é o argumento (ângulo). No nosso caso é real negativo, tem módulo e argumento (qualquer também serve).
Assim escrevemos
- Fórmula das raízes
-ésimas (De Moivre): se , as raízes de são
Aqui
,
,
. Logo
- Aplicando a fórmula:
Esses são exatamente as cinco raízes quinta-raiz de
. Note que para
obtemos
, então
, que é a única raiz real negativa dentre essas cinco.
Passo 7
Resumo final das raízes (com multiplicidades): do fator
vem a raiz
com multiplicidade
. Do fator
vêm as cinco raízes
todas de módulo
e argumentos
.