Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
z^{7}-4 z^{6}+4 z^{5}+32 z^{2}-128 z+128=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as raízes complexas da equação
z^{7}-4 z^{6}+4 z^{5}+32 z^{2}-128 z+128=0.
Informações relevantes dadas:
\text{polinômio }p(z)=z^{7}-4 z^{6}+4 z^{5}+32 z^{2}-128 z+128.ô
Como é um polinômio de grau 7, esperamos 7 raízes no total, contadas com multiplicidade. A partir daqui vou procurar fatores polinomiais simples (testando raízes óbvias) e depois resolver os fatores restantes.

Passo 2

Teste uma raiz óbvia: z=2. Calculo p(2) detalhadamente:
\begin{aligned} p(2)&=2^{7}-4\cdot2^{6}+4\cdot2^{5}+32\cdot2^{2}-128\cdot2+128\\\ &=128-4\cdot64+4\cdot32+32\cdot4-256+128\\\ &=128-256+128+128-256+128. \end{aligned}
Agora somando em ordem:
128-256=-128,\quad -128+128=0,\quad 0+128=128,\quad 128-256=-128,\quad -128+128=0.
Logo p(2)=0. Conclusão: z=2 é raiz do polinômio.

Passo 3

Como z=2 é raiz, podemos dividir p(z) por (z-2). Vou fazer divisão sintética (mais direta para usar na prova):
Coeficientes de p(z) do grau 7 ao 0:
1,\\\ -4,\\\ 4,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 32,\\\ -128,\\\ 128.
Aplicando sintética com 2:
\begin{array}{c|rrrrrrrr} 2 & 1 & -4 & 4 & 0 & 0 & 32 & -128 & 128\\\ & & 2 & -4 & 0 & 0 & 0 & 64 & -128\\\ \hline & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 32 & -64 & 0 \end{array}
O resto é 0. O quociente é o polinômio de grau 6 com coeficientes 1,-2,0,0,0,32,-64. Assim
p(z)=(z-2)\big(z^{6}-2z^{5}+32z-64\big).

Passo 4

Agora fatoramos o quociente q(z)=z^{6}-2z^{5}+32z-64. Observe que podemos agrupar:
z^{6}-2z^{5}+32z-64 = z^{5}(z-2)+32(z-2)=(z-2)(z^{5}+32).
Portanto
p(z)=(z-2)\,(z-2)\,(z^{5}+32)=(z-2)^{2}(z^{5}+32).
Boa — já temos a fatoração completa em fatores relativamente simples.

Passo 5

As raízes aparecem onde cada fator anula-se. Do fator (z-2)^{2} obtemos a raiz real \,z=2 com multiplicidade 2.
Resta resolver z^{5}+32=0, i.e.
z^{5}=-32.

Passo 6

Vou explicar como encontrar as raízes de z^{5}=-32 de forma didática.
  1. Passo conceitual (forma polar): um número complexo w\neq0 pode ser escrito em forma polar como w=R e^{i\theta}, onde R=|w| é o módulo e \theta é o argumento (ângulo). No nosso caso -32 é real negativo, tem módulo 32 e argumento \pi (qualquer \pi+2k\pi também serve).
Assim escrevemos
-32 = 32\,e^{i(\pi+2k\pi)},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  1. Fórmula das raízes n-ésimas (De Moivre): se w=R e^{i\theta}, as n raízes de w são
z_{k}=R^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui n=5, R=32, \theta=\pi. Logo
R^{1/5}=32^{1/5}=2\quad\text{(porque }2^{5}=32\text{)}.
  1. Aplicando a fórmula:
z_{k}=2\,e^{i(\pi+2k\pi)/5}=2\,e^{i(2k+1)\pi/5},\qquad k=0,1,2,3,4.
Esses são exatamente as cinco raízes quinta-raiz de -32. Note que para k=2 obtemos (2\cdot2+1)\pi/5=5\pi/5=\pi, então z=2e^{i\pi}=-2, que é a única raiz real negativa dentre essas cinco.

Passo 7

Resumo final das raízes (com multiplicidades): do fator (z-2)^{2} vem a raiz z=2 com multiplicidade 2. Do fator z^{5}+32 vêm as cinco raízes
z=2\,e^{i(2k+1)\pi/5},\qquad k=0,1,2,3,4,
todas de módulo 2 e argumentos (2k+1)\pi/5.

Resposta

z=2 (multiplicidade 2)
z=2\,e^{i(2k+1)\pi/5},\\ k=0,1,2,3,4

Exercícios relacionados