Solução 5.1 P(x)=(x-0)(x-2)^{3}(x-1)(x+3).
Exercício 6 Resolver a equação P(x)=6 x^{4}-35 x^{3}-62 x^{2}-35 x+6=0 e, em seguida, obtenha a forma fatorada do polinômio P(x).
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
P(x)=6x^{4}-35x^{3}-62x^{2}-35x+6
e pede duas coisas: (1) resolver a equação P(x)=0 (ou seja, encontrar todas as raízes de P) e (2) obter a forma fatorada do polinômio P(x). Informações relevantes: o polinômio é de grau 4 e o termo independente é 6. Não há nenhuma raiz óbvia dada; preciso encontrar todas as raízes (possivelmente complexas) e escrever P(x) como produto de fatores quadráticos/lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pistas na estrutura dos coeficientes. Observe que os coeficientes de P são simétricos (palindrômicos): 6, -35, -62, -35, 6. Essa simetria costuma indicar que vale a substituição
y = x + \frac{1}{x},
pois polinômios palindrômicos de grau 4 podem ser reduzidos usando x^2+\frac{1}{x^2} e x+\frac{1}{x}. Antes de usar a substituição, verifico que x=0 não é raiz já que P(0)=6\neq0, portanto posso dividir por x^2 sem perder raízes.
Duas dessas raízes serão reais (vindo de y_1=\dfrac{35+\sqrt{3001}}{12}, que é maior que 2) e duas serão complexas conjugadas (vindo de y_2=\dfrac{35-\sqrt{3001}}{12}, cujo quadrado é menor que 4, gerando parte imaginária).
Passo 7
Agora escrevo a fatoração do polinômio. Observação: para cada y_j temos o fator quadrático x^2 - y_j x +1. Multiplicando esses dois fatores obtemos um polinômio monic de grau 4; para recuperar P(x) (que tem coeficiente líder 6) multiplicamos por 6. Assim
P(x)=6\left(x^2 - y_1 x + 1\right)\left(x^2 - y_2 x + 1\right),
onde y_{1,2}=\dfrac{35\pm\sqrt{3001}}{12}. Expandindo este produto com esses y_j dá exatamente os coeficientes originais, portanto a fatoração está correta.
Passo 8
Para dar uma ideia numérica (útil na prova para checar sinais), aproximo as raízes: y_1\approx 7{,}48175 leva às raízes reais x\approx 7{,}3465 e x\approx 0{,}135495. Para y_2\approx -1{,}6484 obtemos as duas raízes complexas conjugadas aproximadamente x\approx -0{,}8242 \pm 0{,}5643\,i (esses valores aproximados são só para verificação).
Resposta
y_{1,2}=\dfrac{35\pm\sqrt{3001}}{12}\n
As raízes de P(x)=0 são