Solução 5.1 P(x)=(x-0)(x-2)^{3}(x-1)(x+3).
Exercício 6 Resolver a equação P(x)=6 x^{4}-35 x^{3}-62 x^{2}-35 x+6=0 e, em seguida, obtenha a forma fatorada do polinômio P(x).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=6x^{4}-35x^{3}-62x^{2}-35x+6
e pede duas coisas: (1) resolver a equação P(x)=0 (ou seja, encontrar todas as raízes de P) e (2) obter a forma fatorada do polinômio P(x). Informações relevantes: o polinômio é de grau 4 e o termo independente é 6. Não há nenhuma raiz óbvia dada; preciso encontrar todas as raízes (possivelmente complexas) e escrever P(x) como produto de fatores quadráticos/lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pistas na estrutura dos coeficientes. Observe que os coeficientes de P são simétricos (palindrômicos): 6, -35, -62, -35, 6. Essa simetria costuma indicar que vale a substituição
y = x + \frac{1}{x},
pois polinômios palindrômicos de grau 4 podem ser reduzidos usando x^2+\frac{1}{x^2} e x+\frac{1}{x}. Antes de usar a substituição, verifico que x=0 não é raiz já que P(0)=6\neq0, portanto posso dividir por x^2 sem perder raízes.

Passo 3

Divido P(x) por x^2 e reorganizo:
\frac{P(x)}{x^2}=6\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-35\left(x+\frac{1}{x}\right)-62.
Agora uso as identidades relacionadas à substituição y=x+\dfrac{1}{x}. Lembro que
x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.
Substituindo nesta expressão obtenho uma equação em y:
\frac{P(x)}{x^2}=6(y^2-2)-35y-62.
Portanto, para x\neq0, P(x)=0 é equivalente a
6y^2-35y-74=0.

Passo 4

Agora resolvo a equação quadrática em y. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
6y^2-35y-74=0
temos discriminante
\Delta = (-35)^2 - 4\cdot 6 \cdot (-74) = 1225 + 1776 = 3001.
Como \Delta=3001, as raízes em y são
y_{1,2} = \frac{35 \pm \sqrt{3001}}{12}.

Passo 5

Voltando para x: cada valor de y corresponde às soluções da equação
x+\frac{1}{x}=y \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - yx + 1 = 0.
Portanto, para cada y_j ( j=1,2) as raízes em x são dadas pela fórmula quadrática aplicada à equação x^2 - y_j x +1 =0:
x = \frac{y_j \pm \sqrt{y_j^2 - 4}}{2}.

Passo 6

Substituo explicitamente y_{1} e y_{2}. Assim, as quatro raízes de P(x) são
x_{1,2} = \frac{1}{2}\left(\frac{35 + \sqrt{3001}}{12} \pm \sqrt{\left(\frac{35 + \sqrt{3001}}{12}\right)^2 -4}\right)
e
x_{3,4} = \frac{1}{2}\left(\frac{35 - \sqrt{3001}}{12} \pm \sqrt{\left(\frac{35 - \sqrt{3001}}{12}\right)^2 -4}\right).
Duas dessas raízes serão reais (vindo de y_1=\dfrac{35+\sqrt{3001}}{12}, que é maior que 2) e duas serão complexas conjugadas (vindo de y_2=\dfrac{35-\sqrt{3001}}{12}, cujo quadrado é menor que 4, gerando parte imaginária).

Passo 7

Agora escrevo a fatoração do polinômio. Observação: para cada y_j temos o fator quadrático x^2 - y_j x +1. Multiplicando esses dois fatores obtemos um polinômio monic de grau 4; para recuperar P(x) (que tem coeficiente líder 6) multiplicamos por 6. Assim
P(x)=6\left(x^2 - y_1 x + 1\right)\left(x^2 - y_2 x + 1\right),
onde y_{1,2}=\dfrac{35\pm\sqrt{3001}}{12}. Expandindo este produto com esses y_j dá exatamente os coeficientes originais, portanto a fatoração está correta.

Passo 8

Para dar uma ideia numérica (útil na prova para checar sinais), aproximo as raízes: y_1\approx 7{,}48175 leva às raízes reais x\approx 7{,}3465 e x\approx 0{,}135495. Para y_2\approx -1{,}6484 obtemos as duas raízes complexas conjugadas aproximadamente x\approx -0{,}8242 \pm 0{,}5643\,i (esses valores aproximados são só para verificação).

Resposta

y_{1,2}=\dfrac{35\pm\sqrt{3001}}{12}\n
As raízes de P(x)=0 são
x_{1,2}=\frac{1}{2}\!\left(\dfrac{35+\sqrt{3001}}{12}\pm\sqrt{\left(\dfrac{35+\sqrt{3001}}{12}\right)^{2}-4}\right)
x_{3,4}=\frac{1}{2}\!\left(\dfrac{35-\sqrt{3001}}{12}\pm\sqrt{\left(\dfrac{35-\sqrt{3001}}{12}\right)^{2}-4}\right)
Fatoração do polinômio:
P(x)=6\left(x^{2}-\dfrac{35+\sqrt{3001}}{12}\,x+1\right)\left(x^{2}-\dfrac{35-\sqrt{3001}}{12}\,x+1\right)

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