Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
\frac{d x}{d t}=x-2 y

\begin{aligned} & \frac{d y}{d t}=5 x-y \\ & x(0)=-1, y(0)=2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais com condições iniciais e pede para encontrar as soluções x(t) e y(t). Vou listar exatamente o que foi dado:
  • Equações diferenciais:
\frac{d x}{d t}=x-2y
\frac{d y}{d t}=5x-y
  • Condições iniciais:
x(0)=-1,\qquad y(0)=2
  • Pedido: determinar x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.

Passo 2

Explicando a ferramenta principal que será usada: a transformada de Laplace e a propriedade para derivadas.
  • Definição (o que significa): para uma função f(t) (definida para t\ge0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Propriedade para derivadas (muito útil para transformar EDOs em equações algébricas): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f tem derivada, então
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
Aqui s é a variável da transformada e f(0) é o valor inicial da função.
Vou usar essas propriedades para transformar o sistema de EDOs em um sistema linear de equações algébricas nas funções X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em cada equação usando a propriedade da derivada.
  • Para a primeira equação \dfrac{dx}{dt}=x-2y, aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} temos:
\mathcal{L}\left\{\frac{dx}{dt}\right\}= \mathcal{L}\{x\} - 2\mathcal{L}\{y\}.
Pela propriedade da derivada:
sX(s)-x(0)=X(s)-2Y(s).
Substituindo x(0)=-1:
sX(s)+1 = X(s)-2Y(s).
  • Para a segunda equação \dfrac{dy}{dt}=5x-y, aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} temos:
sY(s)-y(0)=5X(s)-Y(s).
Substituindo y(0)=2:
sY(s)-2 = 5X(s)-Y(s).

Passo 4

Organizar as equações transformadas como um sistema linear em X(s) e Y(s).
A partir de sX(s)+1 = X(s)-2Y(s) obtemos:
(s-1)X(s)+2Y(s) = -1.
A partir de sY(s)-2 = 5X(s)-Y(s) obtemos (rearranjando):
-5X(s)+(s+1)Y(s)=2,
ou equivalente
(s+1)Y(s)-5X(s)=2.
Escrevendo o sistema de forma clara:
\begin{cases} (s-1)X(s)+2Y(s) = -1,\\[6pt] -5X(s)+(s+1)Y(s)=2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema algébrico para X(s) e Y(s). Vou usar determinantes (regra de Cramer) — método direto e claro.
  • Determinante do sistema:
D = \begin{vmatrix} s-1 & 2 \\[4pt] -5 & s+1 \end{vmatrix} = (s-1)(s+1) - (2)(-5) = s^{2}-1 +10 = s^{2}+9.
  • Determinante para X(s) (substituindo a primeira coluna pelo vetor de termos constantes [-1,\,2]^T):
D_X = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[4pt] 2 & s+1 \end{vmatrix} = (-1)(s+1) - (2)(2) = -s-1-4 = -s-5.
  • Determinante para Y(s) (substituindo a segunda coluna pelo vetor de termos constantes):
D_Y = \begin{vmatrix} s-1 & -1 \\[4pt] -5 & 2 \end{vmatrix} = (s-1)(2) - (-1)(-5) = 2s-2-5 = 2s-7.
Logo, por Cramer:
X(s)=\frac{D_X}{D}=\frac{-s-5}{s^{2}+9},\qquad Y(s)=\frac{D_Y}{D}=\frac{2s-7}{s^{2}+9}.]

Passo 6

Preparar as expressões para inverter a transformada de Laplace: decompor cada função em termos cujas inversas são conhecidas.
Escrever X(s) e Y(s) como soma de frações cujo inverso é \cos(3t) ou \sin(3t). Lembrar que
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\frac{s}{s^{2}+9},\qquad \mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+9}.
Agora decompor:
X(s)=\frac{-s-5}{s^{2}+9} = -\frac{s}{s^{2}+9} - \frac{5}{s^{2}+9},
Y(s)=\frac{2s-7}{s^{2}+9} = 2\cdot\frac{s}{s^{2}+9} - \frac{7}{s^{2}+9}.

Passo 7

Inverter termo a termo usando linearidade e as transformadas básicas.
  • Inversas básicas recordadas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\}=\cos(3t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}=\frac{1}{3}\sin(3t).
Aplicando a linearidade:
Para X(s):
\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}=x(t) = -\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\} -5\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}.
Portanto
x(t) = -\cos(3t) - 5\cdot\frac{1}{3}\sin(3t) = -\cos(3t) - \frac{5}{3}\sin(3t).
Para Y(s):
\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=y(t) = 2\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\} -7\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\},
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y(t)=2\cos(3t) - 7\cdot\frac{1}{3}\sin(3t) = 2\cos(3t) - \frac{7}{3}\sin(3t).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (confirmação extra para ficar mais tranquilo):
  • Avaliando em t=0:
x(0) = -\cos(0) - \frac{5}{3}\sin(0) = -1 - 0 = -1,
y(0) = 2\cos(0) - \frac{7}{3}\sin(0) = 2 - 0 = 2,
que coincidem com as condições iniciais dadas. Também as expressões satisfazem as equações ao derivar (pode ser checado) — portanto as soluções estão corretas.

Resposta

x(t)=-\cos(3t)-\dfrac{5}{3}\sin(3t)
y(t)=2\cos(3t)-\dfrac{7}{3}\sin(3t)

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