O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais com condições iniciais e pede para encontrar as soluções x(t) e y(t). Vou listar exatamente o que foi dado:
Equações diferenciais:
\frac{d x}{d t}=x-2y
\frac{d y}{d t}=5x-y
Condições iniciais:
x(0)=-1,\qquad y(0)=2
Pedido: determinar x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.
Passo 2
Explicando a ferramenta principal que será usada: a transformada de Laplace e a propriedade para derivadas.
Definição (o que significa): para uma função f(t) (definida para t\ge0), a transformada de Laplace é
Propriedade para derivadas (muito útil para transformar EDOs em equações algébricas): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f tem derivada, então
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
Aqui s é a variável da transformada e f(0) é o valor inicial da função.
Vou usar essas propriedades para transformar o sistema de EDOs em um sistema linear de equações algébricas nas funções X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em cada equação usando a propriedade da derivada.
Para a primeira equação \dfrac{dx}{dt}=x-2y, aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} temos:
que coincidem com as condições iniciais dadas. Também as expressões satisfazem as equações ao derivar (pode ser checado) — portanto as soluções estão corretas.