Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de equações diferenciais.
\frac{d x}{d t}=-x+y
\frac{d x}{d t}=-x+y
Passo 1
O enunciado fornece um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais e pede a solução
e
:
condições iniciais:
O que se pede: encontrar explicitamente as funções
e
para
.
Passo 2
Breve lembrança didática sobre a transformada de Laplace (sem pular etapas):
- Definição: para uma função
(assumida adequada para Laplace),
Aqui
é a variável complexa da transformada; em prática, trabalhamos com
real suficiente para convergência.
- Linearidade: para constantes
,
- Transformada da derivada (fórmula essencial para resolver EDOs):
onde
e
é o valor inicial. Essa fórmula vem da integração por partes e é usada para transformar derivadas em álgebra em
.
- Transformada inversa básica usada: para constante
,
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace ao sistema. Defina as transformadas de
e
por
Agora transforme cada equação usando a propriedade da derivada.
Para a primeira equação
:
Pela fórmula da derivada:
Usando
:
Rearranjando:
Para a segunda equação
:
Aplicando a fórmula da derivada:
Usando
:
Assim obtemos o sistema linear em
e
:
Passo 4
Resolver o sistema algébrico em
-domínio. Da primeira equação expresso
em função de
:
Substituo na segunda equação:
Coloco em evidência
:
Calcule o polinômio no parêntese:
Fatora-se:
Portanto
Agora recupero
usando
:
Passo 5
Voltar ao tempo
(transformada inversa). Primeiro
.
Fazer decomposição em frações parciais:
Fazer decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Escolhendo valores de
para achar
:
-
dá . -
dá .
Logo
Aplicando a transformada inversa termo a termo usando
:
Passo 6
Agora
. Realizar frações parciais:
Multiplicando por
:
Determinar
:
-
dá . -
dá .
Portanto
Aplicando a transformada inversa:
Passo 7
Verificações rápidas (para dar confiança):
- Condições iniciais:
e — conferem com os dados. - As soluções obtidas são combinações lineares de exponenciais
e , o que é esperado para um sistema linear com coeficientes constantes cujas autoexponenciais vêm das raízes e .