Ex.3: Considere a seguinte funçăo f(x)=\sqrt{x+1}-2 x. Utilize o método da Bisseçåo para encontrar a raiz real positiva no intervalo entre [0,1] até que o erro absoluto seja igual ou inferior a 0,06 ou 10 iterações. Use precisdo de 3 casas decimais em suas contas.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x+1}-2x e pede para encontrar a raiz real positiva no intervalo [0,1] usando o método da Bisseção, com as regras:
  • parar quando o erro absoluto for menor ou igual a 0,06 ou quando atingir 10 iterações, o que ocorrer primeiro;
  • usar precisão de 3 casas decimais nas contas (ou seja, apresentar valores arredondados a 3 casas).
    As informações relevantes que eu vou usar são:
  • o intervalo inicial é [a_0,b_0]=[0,1];
  • a condição necessária para aplicar a Bisseção é que f(a_0) e f(b_0) tenham sinais opostos (então existe raiz em [a_0,b_0]);
  • a estimativa do erro absoluto após uma etapa com intervalo [a,b] é menor ou igual a \dfrac{b-a}{2}.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática):
  • A ideia da Bisseção: dado [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 a raiz foi encontrada; se f(m) tem o mesmo sinal de f(a) então a raiz está em [m,b]; senão está em [a,m]. Repetir.
  • Fórmulas e significado das variáveis:
    • a,b são as extremidades do intervalo atual;
    • m=\dfrac{a+b}{2} é o ponto médio (aproximação da raiz);
    • erro máximo garantido após escolher o intervalo [a,b] é E \le \frac{b-a}{2}.
    Isso significa que qualquer valor dentro do intervalo [a,b] difere da verdadeira raiz por no máximo \dfrac{b-a}{2}.
  • Vou arredondar cada valor mostrado a 3 casas decimais, conforme pedido.

Passo 3

Verificação inicial dos sinais nos extremos (uso a função dada):
  • Calcular f(0): f(0)=\sqrt{0+1}-2\cdot0=\sqrt{1}-0=1{,}000.
  • Calcular f(1): f(1)=\sqrt{1+1}-2\cdot1=\sqrt{2}-2\approx1{,}414214-2=-0{,}586\quad(\text{arred. a 3 casas}).
Como f(0)=1{,}000>0 e f(1)=-0{,}586<0, temos f(0)\cdot f(1)<0 e portanto existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Podemos aplicar a Bisseção.

Passo 4

Executando as iterações (cada linha mostra: iteração k, intervalo [a,b], ponto médio m, valor f(m) arredondado e decisão; todos os números exibidos com 3 casas decimais):
  • Iteração 1: [a,b]=[0{,}000,\,1{,}000],\qquad m=\frac{0{,}000+1{,}000}{2}=0{,}500.
f(0{,}500)=\sqrt{1{,}500}-2\cdot0{,}500}\approx1{,}224745-1{,}000=0{,}225.
f(a)\cdot f(m)>0 (positivo), logo a raiz está em [0{,}500,\,1{,}000].
Erro máximo neste passo: E\le\dfrac{1{,}000-0{,}500}{2}=0{,}250.
  • Iteração 2: [a,b]=[0{,}500,\,1{,}000],\qquad m=\frac{0{,}500+1{,}000}{2}=0{,}750.
f(0{,}750)=\sqrt{1{,}750}-2\cdot0{,}750}\approx1{,}322876-1{,}500=-0{,}177.
f(m) é negativo, f(a) é positivo, então a raiz está em [0{,}500,\,0{,}750].
Erro máximo agora: E\le\dfrac{0{,}750-0{,}500}{2}=0{,}125.
  • Iteração 3: [a,b]=[0{,}500,\,0{,}750],\qquad m=\frac{0{,}500+0{,}750}{2}=0{,}625.
f(0{,}625)=\sqrt{1{,}625}-2\cdot0{,}625}\approx1{,}274755-1{,}250=0{,}025.
f(m) é positivo, então a raiz está em [0{,}625,\,0{,}750].
Erro máximo agora: E\le\dfrac{0{,}750-0{,}625}{2}=0{,}0625. Observe que 0{,}0625>0{,}06, portanto ainda não atingimos a tolerância exigida 0{,}06.
  • Iteração 4: [a,b]=[0{,}625,\,0{,}750],\qquad m=\frac{0{,}625+0{,}750}{2}=0{,}6875.
f(0{,}6875)=\sqrt{1{,}6875}-2\cdot0{,}6875}\approx1{,}299038-1{,}375=-0{,}076.
f(m) é negativo, então a raiz está em [0{,}625,\,0{,}6875].
Erro máximo agora: E\le\dfrac{0{,}6875-0{,}625}{2}=0{,}03125.
Como 0{,}03125\le0{,}06, alcançamos a tolerância pedida. Parei após 4 iterações.

Passo 5

Resumo do que obtivemos e como usar isso na prova:
  • Após 4 iterações o intervalo que contém a raiz é [0{,}625,\,0{,}6875].
  • O erro garantido (metade do comprimento do intervalo) é E\le0{,}03125, que satisfaz a condição E\le0{,}06.
  • Na prática, a estimativa final da raiz pela Bisseção é o ponto médio do intervalo final: x^\ast=\frac{0{,}625+0{,}6875}{2}=0{,}65625,que arredondado a 3 casas decimais é 0{,}656. (Esse é o número que se escreve como aproximação final na prova.)

Resposta

x \approx 0{,}656 (após 4 iterações; intervalo final [0{,}625,\,0{,}6875]; erro máximo \le 0{,}03125).

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