Ex.3: Considere a seguinte funçăo
. Utilize o método da Bisseçåo para encontrar a raiz real positiva no intervalo entre
até que o erro absoluto seja igual ou inferior a 0,06 ou 10 iterações. Use precisdo de 3 casas decimais em suas contas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a raiz real positiva no intervalo
usando o método da Bisseção, com as regras:
- parar quando o erro absoluto for menor ou igual a
ou quando atingir iterações, o que ocorrer primeiro; - usar precisão de
casas decimais nas contas (ou seja, apresentar valores arredondados a casas).
As informações relevantes que eu vou usar são: - o intervalo inicial é
; - a condição necessária para aplicar a Bisseção é que
e tenham sinais opostos (então existe raiz em ); - a estimativa do erro absoluto após uma etapa com intervalo
é menor ou igual a .
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática):
- A ideia da Bisseção: dado
com , calcular o ponto médio . Se a raiz foi encontrada; se tem o mesmo sinal de então a raiz está em ; senão está em . Repetir. - Fórmulas e significado das variáveis:
-
são as extremidades do intervalo atual; -
é o ponto médio (aproximação da raiz); - erro máximo garantido após escolher o intervalo
é
difere da verdadeira raiz por no máximo . -
- Vou arredondar cada valor mostrado a
casas decimais, conforme pedido.
Passo 3
Verificação inicial dos sinais nos extremos (uso a função dada):
- Calcular
: - Calcular
:
Como
e
, temos
e portanto existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a Bisseção.
Passo 4
Executando as iterações (cada linha mostra: iteração
, intervalo
, ponto médio
, valor
arredondado e decisão; todos os números exibidos com 3 casas decimais):
- Iteração 1:
Erro máximo neste passo:
- Iteração 2:
Erro máximo agora:
- Iteração 3:
Erro máximo agora:
- Iteração 4:
Erro máximo agora:
Como
Passo 5
Resumo do que obtivemos e como usar isso na prova:
- Após
iterações o intervalo que contém a raiz é . - O erro garantido (metade do comprimento do intervalo) é
, que satisfaz a condição . - Na prática, a estimativa final da raiz pela Bisseção é o ponto médio do intervalo final:
que arredondado a 3 casas decimais é . (Esse é o número que se escreve como aproximação final na prova.)