Um Apoio A é utilizado para suportar Elemento B que está sujeito a uma força de compressão boldsymbol{P}=\mathbf{2 , 8 k N}. Se o Apoio A e o Elemento B são feitos de Carvalho Branco, ambos com espessura boldsymbol{t}=\mathbf{4 0 m m} e utilizando um fator de segurança de 1,5 .
Determine a tensão normal nas superfícies de contato do Apoio A com o Elemento B.

Passo 1

O enunciado me dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • Força de compressão: P = 2{,}8\\ \text{kN}.
  • Espessura dos dois elementos (Apoio A e Elemento B): t = 40\\ \text{mm}.
  • Material: Carvalho Branco (foi citado o material, mas não foi fornecido nenhum valor numérico de resistência do material).
  • Fator de segurança: FS = 1{,}5.
  • Pedido: determinar a tensão normal nas superfícies de contato do Apoio A com o Elemento B.
Informações relevantes que NÃO foram fornecidas no enunciado (e que são necessárias para um valor numérico único):
  • A largura da superfície de contato (chamo-a de b). A área de contato é A = b\cdot t, então sem b não dá para obter um único número.
  • Se a intenção fosse comparar com uma tensão admissível, falta também o valor da resistência compressiva do Carvalho Branco (ou uma tensão admissível já tabulada) para dividir pelo FS.

Passo 2

O conceito e a fórmula que vamos usar: tensão normal de contato (tensão de compressão média) é a força dividida pela área de contato. Em fórmula:
\sigma_n = \frac{P}{A}.
Aqui:
  • \sigma_n é a tensão normal média (unidades: \text{N}/\text{mm}^2 que é igual a MPa),
  • P é a força aplicada (unidades: N),
  • A é a área de contato (unidades: \text{mm}^2).
Explicando passo a passo: a tensão é simplesmente “quanto de força cai por cada unidade de área”. Se a área aumenta, a tensão diminui, se a força aumenta, a tensão aumenta.

Passo 3

Converter as unidades para trabalhar em \text{N} e \text{mm}:
  • Força: P = 2{,}8\\ \text{kN} = 2800\\ \text{N}.
  • Espessura: t = 40\\ \text{mm}.
  • Seja b a largura de contato em \text{mm}. A área de contato será
A = b\cdot t = b\cdot 40\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula da tensão:
\sigma_n = \frac{P}{A} = \frac{2800}{b\cdot 40}\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Simplificando 2800/40 = 70, então obtemos a forma conveniente
\sigma_n = \frac{70}{b}\\ \text{MPa},
onde b está em \text{mm}. (Obs.: \text{N}/\text{mm}^2=\text{MPa}.)
Interpretação: esse resultado dá a tensão média de contato como função da largura b. Sem saber b não há um único valor numérico.

Passo 5

Como usar o fator de segurança FS=1{,}5: o FS não altera a tensão aplicada \sigma_n; ele serve para obter a tensão admissível do material a partir da resistência do material. Ou seja, se você tivesse a resistência de compressão paralela ao veio do Carvalho Branco \sigma_\text{mat} (em MPa), a tensão admissível seria
\sigma_\text{adm}=\frac{\sigma_\text{mat}}{FS}=\frac{\sigma_\text{mat}}{1{,}5}.
Para verificar segurança você compara \sigma_n com \sigma_\text{adm}: o projeto é seguro se \sigma_n \le \sigma_\text{adm}.

Passo 6

Exemplos numéricos para ganhar intuição (uso os mesmos resultados da fórmula \sigma_n=70/b):
  • Se b=40\\ \text{mm} (por exemplo a largura igual à espessura), então \sigma_n=\frac{70}{40}=1{,}75\\ \text{MPa}.
  • Se b=20\\ \text{mm}, então \sigma_n=\frac{70}{20}=3{,}5\\ \text{MPa}.
  • Se b=100\\ \text{mm}, então \sigma_n=\frac{70}{100}=0{,}7\\ \text{MPa}.
Esses exemplos mostram como a tensão cai rapidamente quando a largura aumenta.

Passo 7

Conclusão prática e o que posso fazer a seguir:
  • Não é possível fornecer um único valor numérico absoluto para a tensão normal sem a largura de contato b (ou uma figura com essa dimensão).
  • Também, para avaliar segurança com FS=1{,}5 preciso do valor da resistência do Carvalho Branco (ou de uma tabela de propriedades mecânicas).
Se você quiser eu faço qualquer uma das opções abaixo:
  • Se você me der a largura de contato b, eu calculo \sigma_n numericamente.
  • Se você me der a resistência compressiva do Carvalho Branco (ou uma tensão admissível tabulada), eu calculo a \sigma_\text{adm} com FS=1{,}5 e digo se o contato está seguro.
  • Posso também estimar a largura mínima necessária para não ultrapassar uma tensão admissível que você defina.
Força — você consegue me passar a largura de contato ou a resistência do material? 😃

Resposta

\displaystyle \sigma_n=\frac{P}{b\,t}=\frac{2800}{b\cdot 40}=\frac{70}{b}\\ \text{MPa} (com b em \text{mm}).

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