Um Apoio A é utilizado para suportar Elemento B que está sujeito a uma força de compressão boldsymbol{P}=\mathbf{2 , 8 k N}. Se o Apoio A e o Elemento B são feitos de Carvalho Branco, ambos com espessura boldsymbol{t}=\mathbf{4 0 m m} e utilizando um fator de segurança de 1,5 .
Determine o comprimento boldsymbol{a} do Apoio boldsymbol{A} considerando o limite de resistência ao cisalhamento de \mathbf{1 3 , 8 M P a}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento a do Apoio A. As informações fornecidas são:
  • Força de compressão: \;P = 2{,}8\\ \text{kN}.
  • Espessura do Apoio (e do Elemento): \;t = 40\\ \text{mm}.
  • Fator de segurança: \;FS = 1{,}5.
  • Limite de resistência ao cisalhamento (resistência última): \;\tau_{\text{lim}} = 13{,}8\\ \text{MPa}.
Pergunta explícita: determinar o comprimento \;a do Apoio A considerando o limite de cisalhamento dado e o fator de segurança.

Passo 2

Conceito importante — fator de segurança e tensão admissível:
  • O material tem uma resistência última ao cisalhamento \tau_{\text{lim}}. Para projetar com segurança usamos uma tensão admissível \tau_{\text{adm}} obtida dividindo a resistência pelo fator de segurança:
\tau_{\text{adm}}=\dfrac{\tau_{\text{lim}}}{FS}.
  • Isso significa que a tensão de cisalhamento real no detalhe deve ser menor ou igual a \tau_{\text{adm}}.

Passo 3

Calcular a tensão admissível numérica usando os dados:
\tau_{\text{adm}}=\dfrac{13{,}8\\ \text{MPa}}{1{,}5}.
Fazendo a divisão:
\tau_{\text{adm}} = 9{,}2\\ \text{MPa}.
Observação: 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2, então podemos trabalhar com \tau_{\text{adm}}=9{,}2\\ \text{N}/\text{mm}^2.

Passo 4

Conceito de tensão de cisalhamento e área resistente:
  • Para um corte simples (cisalhamento simples) a tensão de cisalhamento média é dada por
\tau=\dfrac{P}{A},
onde P é a força que causa o cisalhamento e A é a área plana que resiste ao cisalhamento.
  • No nosso caso a área de cisalhamento é a área da seção do apoio ao longo do comprimento a, que é:
A = t\cdot a,
com t em \text{mm} e a em \text{mm}. Portanto:
\tau=\dfrac{P}{t\cdot a}.

Passo 5

Condição de projeto: a tensão real não pode exceder a admissível, isto é \tau \le \tau_{\text{adm}}.
Substituindo a expressão de \tau:
\dfrac{P}{t\cdot a} \le \tau_{\text{adm}}.
Isolando a para obter o mínimo necessário:
a \ge \dfrac{P}{\tau_{\text{adm}}\; t}.
Para projetar escolhemos a igual ao valor calculado (ou maior, se quisermos uma sobra).

Passo 6

Preparar unidades e conversões:
  • Converter P para newtons: \;P = 2{,}8\\ \text{kN} = 2800\\ \text{N}.
  • Usaremos t em \text{mm}: t = 40\\ \text{mm}.
  • Usaremos \tau_{\text{adm}} em \text{N}/\text{mm}^2: \tau_{\text{adm}} = 9{,}2\\ \text{N}/\text{mm}^2.
    Com essas unidades, a fórmula abaixo fornece a em \text{mm}:
a = \dfrac{P}{\tau_{\text{adm}}\; t}.

Passo 7

Substituir valores e calcular passo a passo:
a = \dfrac{2800\\ \text{N}}{9{,}2\\ \text{N}/\text{mm}^2 \times 40\\ \text{mm}}.
Calcular o denominador primeiro:
9{,}2 \times 40 = 368\quad(\text{unidade: }\text{N}/\text{mm}).
Agora dividir:
a = \dfrac{2800}{368}\\ \text{mm}.
Fazendo a divisão:
a \approx 7{,}60869565\\ \text{mm}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação prática:
  • Arredondando com duas casas decimais:
a \approx 7{,}61\\ \text{mm}.
  • Na prática muitas vezes escolhem-se dimensões padrão (por exemplo 8\\ \text{mm}) para facilitar fabricação, mas o cálculo mínimo é o acima.

Resposta

a \approx 7{,}61\\ \text{mm}

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