Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
< 3850
< 3850
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
- Informação: após 28 dias a resistência compressiva média é
psi. - Informação: o desvio padrão é
psi. - Informação: a resistência tem distribuição normal (ou seja, a variável aleatória
é normal). - Pergunta: determinar a probabilidade de que a resistência compressiva seja menor que
psi, isto é, calcular .
Passo 2
O que significa “variável com distribuição normal” e por que isso ajuda?
Uma variável aleatória com distribuição normal é totalmente caracterizada pela média
e pelo desvio padrão
. A notação é
. Aqui temos
Uma variável aleatória
Isso nos permite transformar
numa variável normal padrão
(média zero e variância 1) usando a padronização. A vantagem é que existem tabelas (ou calculadoras) conhecidas para a normal padrão que nos permitem obter probabilidades.
Passo 3
Explico a padronização (a “fórmula mágica” que usamos na prova): para transformar qualquer normal em normal padrão usamos
Aqui
é uma variável com distribuição
. A interpretação:
mede quantos desvios padrão a observação
está acima (ou abaixo, se for negativo) da média.
Passo 4
Aplicando a padronização ao valor pedido
:
Expliquei cada passo: subtraí a média
de
dando
, e dividi por
, obtendo
.
Passo 5
Agora traduzimos a probabilidade original para a normal padrão. Temos
Ou seja, precisamos da função de distribuição acumulada da normal padrão em
.
Passo 6
Como ler a probabilidade
: usamos propriedade de simetria da normal padrão. Para qualquer
,
Portanto
(Isto é porque a curva é simétrica em torno de zero: a área à esquerda de
é igual à área à direita de
, que é
.)
Passo 7
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora). O valor padrão conhecido é
Se você usar uma tabela que dá apenas quatro casas decimais, pode ver
. Aqui vou manter
para maior precisão.
Passo 8
Então
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais (próprio em provas), obtemos
.
Passo 9
Interpretação em palavras (para te animar): isso significa que aproximadamente
das peças de cimento têm resistência abaixo de
psi — uma fração relativamente pequena, mas não desprezível.