Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
< 3850

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informação: após 28 dias a resistência compressiva média é \mu = 4000 psi.
  • Informação: o desvio padrão é \sigma = 120 psi.
  • Informação: a resistência tem distribuição normal (ou seja, a variável aleatória X é normal).
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que a resistência compressiva seja menor que 3850 psi, isto é, calcular P(X < 3850).

Passo 2

O que significa “variável com distribuição normal” e por que isso ajuda?
Uma variável aleatória X com distribuição normal é totalmente caracterizada pela média \mu e pelo desvio padrão \sigma. A notação é \,X \sim N(\mu,\sigma^2). Aqui temos
X \sim N\bigl(\,4000,\;120^2\,\bigr).
Isso nos permite transformar X numa variável normal padrão Z (média zero e variância 1) usando a padronização. A vantagem é que existem tabelas (ou calculadoras) conhecidas para a normal padrão que nos permitem obter probabilidades.

Passo 3

Explico a padronização (a “fórmula mágica” que usamos na prova): para transformar qualquer normal em normal padrão usamos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é uma variável com distribuição N(0,1). A interpretação: Z mede quantos desvios padrão a observação X está acima (ou abaixo, se for negativo) da média.

Passo 4

Aplicando a padronização ao valor pedido X=3850:
z=\frac{3850-4000}{120}=\frac{-150}{120}=-1,25.
Expliquei cada passo: subtraí a média \mu=4000 de 3850 dando -150, e dividi por \sigma=120, obtendo -1,25.

Passo 5

Agora traduzimos a probabilidade original para a normal padrão. Temos
P(X<3850)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{3850-\mu}{\sigma}\right)=P(Z<-1,25).
Ou seja, precisamos da função de distribuição acumulada da normal padrão em -1,25.

Passo 6

Como ler a probabilidade P(Z<-1,25): usamos propriedade de simetria da normal padrão. Para qualquer z,
P(Z<-z)=1-P(Z<z).
Portanto
P(Z<-1,25)=1-P(Z<1,25).
(Isto é porque a curva é simétrica em torno de zero: a área à esquerda de -1,25 é igual à área à direita de 1,25, que é 1-P(Z<1,25).)

Passo 7

Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora). O valor padrão conhecido é
P(Z<1,25)\approx 0,89435.
Se você usar uma tabela que dá apenas quatro casas decimais, pode ver 0,8943. Aqui vou manter 0,89435 para maior precisão.

Passo 8

Então
P(Z<-1,25)=1-0,89435=0,10565.
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais (próprio em provas), obtemos 0,1056.

Passo 9

Interpretação em palavras (para te animar): isso significa que aproximadamente 10{,}56\% das peças de cimento têm resistência abaixo de 3850 psi — uma fração relativamente pequena, mas não desprezível.

Resposta

0,1056

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