Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
< 3900

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos: após 28 dias a resistência compressiva média é \mu=4000 psi e o desvio padrão é \sigma=120 psi. O enunciado pede a probabilidade de que a resistência compressiva seja menor que 3900 psi, ou seja:
\text{calcular }P(X<3900),
onde X é a resistência compressiva (aleatória).

Passo 2

O que é o modelo que vamos usar (com explicação curta e direta): supondo que a resistência tem distribuição normal significa que X segue uma curva em forma de sino totalmente caracterizada pela média \mu e pelo desvio padrão \sigma. Notação:
X \sim N(\mu,\sigma^2),
onde \mu é o valor médio (centro da curva) e \sigma mede a dispersão (largura) da curva. Aqui temos \mu=4000 e \sigma=120.

Passo 3

Padronização — por que e como: para usar tabelas ou propriedades conhecidas, transformamos X numa variável normal padrão Z (média 0, desvio 1). A fórmula é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando cada símbolo: X é o valor de interesse (aqui 3900), \mu é a média ( 4000), \sigma é o desvio padrão ( 120). A probabilidade que queremos se transforma em probabilidade sobre Z:
P(X<3900)=P\!\left(Z<\frac{3900-\mu}{\sigma}\right).

Passo 4

Cálculo do escore z: aplicando a fórmula
z=\frac{3900-4000}{120}=\frac{-100}{120}=-\frac{5}{6}=-0,833\overline{3}.
Então
P(X<3900)=P(Z<-0,833\overline{3}).

Passo 5

Uso da simetria da normal padrão e consulta à tabela: a função distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(t)=P(Z\le t). Pela simetria da normal,
P(Z<-0,833\overline{3})=1-P(Z<0,833\overline{3})=1-\Phi(0,833\overline{3}).
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora). Valores da tabela: \Phi(0,83)=0,7967 e \Phi(0,84)=0,7995. Fazendo uma interpolação linear para 0,833\overline{3} obtemos aproximadamente
\Phi(0,833\overline{3})\approx 0,79763.
Portanto
P(X<3900)=1-0,79763\approx 0,20237.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: a probabilidade de que a resistência esteja abaixo de 3900 psi é aproximadamente 0,2024, ou seja, cerca de 20{,}24\%. Isso significa que em torno de 1 em cada 5 blocos (ou amostras) terá resistência menor que 3900 psi, segundo o modelo normal dado.

Resposta

0,2024

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