Q6:

Efetue a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), encontrando o Quociente Q(x) e o Resto R(x).
A(x)=x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}-x+1
B(x)=x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede: efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), encontrando o quociente Q(x) e o resto R(x).
Informações dadas:
A(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-x+1
B(x)=x^{2}-2x+1
Queremos encontrar polinômios Q(x) e R(x) tais que
A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x)
onde o grau de R(x) é estritamente menor que o grau de B(x) (ou seja, \deg R<2).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a divisão de polinômios (divisão algébrica, “long division”) passo a passo. Justificativa curta: é o método mais direto e elementar para obter explicitamente cada termo do quociente e do resto sem supor conhecimentos extras; é fácil de executar à mão numa prova.
Antes de começar, lembra: o procedimento principal é, repetidamente, dividir o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente, multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do resto atual, até que o grau do resto seja menor que o do divisor.

Passo 3

Vou organizar os polinômios por potências decrescentes e proceder.
  1. O termo líder de A(x) é x^{4}.
  2. O termo líder de B(x) é x^{2}.
Dividimos x^{4} por x^{2} para obter o primeiro termo do quociente:
\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}.
Então o primeiro termo de Q(x) é x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos o divisor B(x) pelo termo obtido x^{2}:
x^{2}\cdot B(x)=x^{2}\cdot\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.
Agora subtraímos esse produto de A(x). Escrevendo:
A(x)-x^{2}\,B(x)=\bigl(x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-x+1\bigr)-\bigl(x^{4}-2x^{3}+x^{2}\bigr).
Fazendo a subtração termo a termo:
x^{4}-x^{4}=0,
-3x^{3}-(-2x^{3})=-3x^{3}+2x^{3}=-x^{3},
2x^{2}-x^{2}=x^{2},
e os termos mais baixos permanecem: -x+1.
Logo o novo resto é
-x^{3}+x^{2}-x+1.

Passo 5

Agora repetimos: dividimos o termo líder do resto -x^{3} por x^{2}:
\frac{-x^{3}}{x^{2}}=-x.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por -x:
(-x)\cdot B(x)=-x\cdot\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=-x^{3}+2x^{2}-x.
Subtraímos esse produto do resto atual:
\bigl(-x^{3}+x^{2}-x+1\bigr)-\bigl(-x^{3}+2x^{2}-x\bigr).
Subtração termo a termo:
-x^{3}-(-x^{3})=0,
x^{2}-2x^{2}=-x^{2},
(-x)-(-x)=0,
e o termo constante +1 permanece.
Portanto o novo resto é
-x^{2}+1.

Passo 6

Continuamos: dividimos o termo líder do resto -x^{2} por x^{2}:
\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por -1:
(-1)\cdot B(x)=-1\cdot\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=-x^{2}+2x-1.
Subtraímos desse modo:
\bigl(-x^{2}+0x+1\bigr)-\bigl(-x^{2}+2x-1\bigr).
Subtração termo a termo (note que escrevemos o termo em x como 0x para clareza):
-x^{2}-(-x^{2})=0,
0x-2x=-2x,
1-(-1)=2.
Logo o resto final é
-2x+2.
Como o grau do resto (grau 1) é agora menor que o grau do divisor (grau 2), paramos aqui.

Passo 7

Reunindo os termos do quociente que obtivemos nos passos:
Q(x)=x^{2}-x-1.
E o resto encontrado:
R(x)=-2x+2.
É bom verificar: devemos ter A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x). Faço a multiplicação e soma para conferir.
Multiplicando B(x) por Q(x):
\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)\bigl(x^{2}-x-1\bigr).
Faço a expansão termo a termo:
x^{2}\cdot(x^{2}-x-1)=x^{4}-x^{3}-x^{2},
-2x\cdot(x^{2}-x-1)=-2x^{3}+2x^{2}+2x,
1\cdot(x^{2}-x-1)=x^{2}-x-1.
Somando essas três linhas:
x^{4}+(-x^{3}-2x^{3})+(-x^{2}+2x^{2}+x^{2})+(2x-x)+(-1)
que simplifica para
x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+x-1.
Agora somamos o resto R(x)=-2x+2:
\bigl(x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+x-1\bigr)+\bigl(-2x+2\bigr)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-x+1,
que é exatamente A(x). Verificação concluída — tudo bate.
Comentário final amigável: você viu passo a passo como escolher cada termo do quociente dividindo os termos líderes, multiplicando e subtraindo; com prática, isso vira automático numa prova. Vai dar certo!

Resposta

Q(x)=x^{2}-x-1
R(x)=-2x+2

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