Q6:
Efetue a divisão do polinômio
pelo polinômio
, encontrando o Quociente
e o Resto
.
Passo 1
O enunciado pede: efetuar a divisão do polinômio
pelo polinômio
, encontrando o quociente
e o resto
.
Informações dadas:
Queremos encontrar polinômios
e
tais que
onde o grau de
é estritamente menor que o grau de
(ou seja,
).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a divisão de polinômios (divisão algébrica, “long division”) passo a passo. Justificativa curta: é o método mais direto e elementar para obter explicitamente cada termo do quociente e do resto sem supor conhecimentos extras; é fácil de executar à mão numa prova.
Antes de começar, lembra: o procedimento principal é, repetidamente, dividir o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente, multiplicar o divisor por esse termo e subtrair do resto atual, até que o grau do resto seja menor que o do divisor.
Passo 3
Vou organizar os polinômios por potências decrescentes e proceder.
- O termo líder de
é . - O termo líder de
é .
Dividimos
por
para obter o primeiro termo do quociente:
Então o primeiro termo de
é
.
Passo 4
Multiplicamos o divisor
pelo termo obtido
:
Agora subtraímos esse produto de
. Escrevendo:
Fazendo a subtração termo a termo:
e os termos mais baixos permanecem:
.
Logo o novo resto é
Logo o novo resto é
Passo 5
Agora repetimos: dividimos o termo líder do resto
por
:
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por
:
Subtraímos esse produto do resto atual:
Subtração termo a termo:
e o termo constante
permanece.
Portanto o novo resto é
Portanto o novo resto é
Passo 6
Continuamos: dividimos o termo líder do resto
por
:
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por
:
Subtraímos desse modo:
Subtração termo a termo (note que escrevemos o termo em
como
para clareza):
Logo o resto final é
Como o grau do resto (grau
) é agora menor que o grau do divisor (grau
), paramos aqui.
Passo 7
Reunindo os termos do quociente que obtivemos nos passos:
E o resto encontrado:
É bom verificar: devemos ter
. Faço a multiplicação e soma para conferir.
Multiplicando
por
:
Faço a expansão termo a termo:
Somando essas três linhas:
que simplifica para
Agora somamos o resto
:
que é exatamente
. Verificação concluída — tudo bate.
Comentário final amigável: você viu passo a passo como escolher cada termo do quociente dividindo os termos líderes, multiplicando e subtraindo; com prática, isso vira automático numa prova. Vai dar certo!