Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
3880

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a resistência compressiva, após 28 dias, seja maior que 3880 psi.
Informações fornecidas:
  • resistência média (média) \mu = 4000 psi;
  • desvio padrão \sigma = 120 psi;
  • a resistência segue distribuição normal;
  • pedido: P(X>3880), onde X é a resistência compressiva.

Passo 2

Modelagem e significado das variáveis: seja X a variável aleatória que representa a resistência compressiva. Como o enunciado diz que X é normal com média e desvio padrão dados, escrevemos
X \sim N(\mu,\sigma^{2})
onde \mu é o valor médio esperado (centro da distribuição) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão). Aqui \mu=4000 e \sigma=120. A probabilidade P(X>3880) corresponde à área da curva normal à direita de 3880.

Passo 3

Motivação da padronização: tabelas e cálculos são feitos para a normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Para usar essas tabelas ou propriedades, padronizamos X transformando-a em Z pela fórmula
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a normal padrão, isto é Z \sim N(0,1). A padronização converte qualquer ponto x em quantos desvios padrão ele está longe da média.

Passo 4

Aplicando a padronização ao ponto x=3880. Primeiro calculamos a diferença em relação à média:
3880-4000 = -120.
Agora dividimos pelo desvio padrão:
z = \frac{3880-4000}{120} = \frac{-120}{120} = -1.
Portanto
P(X>3880) = P\!\left(Z > -1\right).

Passo 5

Uso das propriedades da normal padrão: seja \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(z)=P(Z\le z). Temos
P(Z>-1) = 1 - P(Z\le -1) = 1 - \Phi(-1).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-1)=1-\Phi(1). Substituindo:
P(Z>-1) = 1 - (1-\Phi(1)) = \Phi(1).
Ou seja, P(Z>-1)=\Phi(1). Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos
\Phi(1) \approx 0,8413.

Passo 6

Interpretação e conclusão: a probabilidade de que a resistência compressiva seja maior que 3880 psi é aproximadamente 0,8413. Em outras palavras, há cerca de 84{,}13\% de chance de uma amostra de cimento ter resistência acima de 3880 psi. Força aí — essa é uma conta clássica de normal; na prova, padroniza, olha a tabela e interpreta o resultado!

Resposta

0,8413

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