Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
3880
3880
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a resistência compressiva, após 28 dias, seja maior que
psi.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- resistência média (média)
psi; - desvio padrão
psi; - a resistência segue distribuição normal;
- pedido:
, onde é a resistência compressiva.
Passo 2
Modelagem e significado das variáveis: seja
a variável aleatória que representa a resistência compressiva. Como o enunciado diz que
é normal com média e desvio padrão dados, escrevemos
onde
é o valor médio esperado (centro da distribuição) e
é o desvio padrão (medida de dispersão). Aqui
e
. A probabilidade
corresponde à área da curva normal à direita de
.
Passo 3
Motivação da padronização: tabelas e cálculos são feitos para a normal padrão, que tem média
e desvio padrão
. Para usar essas tabelas ou propriedades, padronizamos
transformando-a em
pela fórmula
Aqui
é a normal padrão, isto é
. A padronização converte qualquer ponto
em quantos desvios padrão ele está longe da média.
Passo 4
Aplicando a padronização ao ponto
. Primeiro calculamos a diferença em relação à média:
Agora dividimos pelo desvio padrão:
Portanto
Passo 5
Uso das propriedades da normal padrão: seja
a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é
. Temos
Pela simetria da normal padrão vale
. Substituindo:
Ou seja,
. Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos
Passo 6
Interpretação e conclusão: a probabilidade de que a resistência compressiva seja maior que
psi é aproximadamente
. Em outras palavras, há cerca de
de chance de uma amostra de cimento ter resistência acima de
psi. Força aí — essa é uma conta clássica de normal; na prova, padroniza, olha a tabela e interpreta o resultado!