Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
3750 e menor que 4250.
3750 e menor que 4250.
Passo 1
O enunciado dá que, após 28 dias, a resistência compressiva segue uma distribuição normal com média
psi e desvio padrão
psi. A pergunta é: qual a probabilidade de a resistência estar maior que
e menor que
; ou seja, queremos
Passo 2
Vamos transformar a variável
(resistência) numa variável padronizada
da distribuição normal padrão para poder usar tabelas ou a função de distribuição normal padrão. A ideia é usar a fórmula do escore-padrão (z-score), que converte qualquer normal para a normal padrão.
Passo 3
Explicando a fórmula do z-score: para uma variável normal
com média
e desvio padrão
, o z-score de um valor
é
Aqui:
-
é o valor da variável original (por exemplo ou ); -
é a média ( ); -
é o desvio padrão ( ).
A razão para fazer isso é que a função de distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de, é tabulada e conhecida. A probabilidade entre dois valores transforma-se em diferença de valores de :
Passo 4
Calcule os z-scores dos limites
e
.
Para
:
Para
:
Observação: os dois z-scores são simétricos (
e
), porque os pontos
e
estão à mesma distância da média
.
Passo 5
Usando a fórmula da Passo 3:
Pela simetria da normal padrão vale
. Então, com
,
Assim basta achar
.
Passo 6
Usando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), lemos os valores:
e
.
Interpolando para (que está 0,333… entre 2{,}08 e 2{,}09):
Interpolando para
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida: isso significa que cerca de
das amostras de cimento terão resistência entre
e
psi — faz sentido porque esses limites estão a aproximadamente
desvios-padrão da média, e quase
da massa de uma normal fica dentro de
.