Após 28 dias de curagem o cimento Portland comum tem uma resistência compressiva média de 4000 psi . Suponha que essa resistência tenha distribuição normal com desvio padrão de 120 psi . Determine as probabilidades para uma resistência compressiva:
3750 e menor que 4250.

Passo 1

O enunciado dá que, após 28 dias, a resistência compressiva segue uma distribuição normal com média \mu=4000 psi e desvio padrão \sigma=120 psi. A pergunta é: qual a probabilidade de a resistência estar maior que 3750 e menor que 4250; ou seja, queremos
P(3750 < X < 4250).

Passo 2

Vamos transformar a variável X (resistência) numa variável padronizada Z da distribuição normal padrão para poder usar tabelas ou a função de distribuição normal padrão. A ideia é usar a fórmula do escore-padrão (z-score), que converte qualquer normal para a normal padrão.

Passo 3

Explicando a fórmula do z-score: para uma variável normal X com média \mu e desvio padrão \sigma, o z-score de um valor x é
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • x é o valor da variável original (por exemplo 3750 ou 4250);
  • \mu é a média ( 4000);
  • \sigma é o desvio padrão ( 120).
    A razão para fazer isso é que a função de distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de \Phi(z), é tabulada e conhecida. A probabilidade entre dois valores transforma-se em diferença de valores de \Phi:
P(a<X<b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).

Passo 4

Calcule os z-scores dos limites 3750 e 4250.
Para x=3750:
z_1=\frac{3750-4000}{120}=\frac{-250}{120}=-2{,}083333\ldots
Para x=4250:
z_2=\frac{4250-4000}{120}=\frac{250}{120}=2{,}083333\ldots
Observação: os dois z-scores são simétricos ( -2{,}0833 e +2{,}0833), porque os pontos 3750 e 4250 estão à mesma distância da média 4000.

Passo 5

Usando a fórmula da Passo 3:
P(3750<X<4250)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-z)=1-\Phi(z). Então, com z=2{,}08333,
\Phi(z_2)-\Phi(z_1)=\Phi(z)-\bigl(1-\Phi(z)\bigr)=2\Phi(z)-1.
Assim basta achar \Phi(2{,}08333).

Passo 6

Usando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), lemos os valores:
\Phi(2{,}08)=0{,}9812 e \Phi(2{,}09)=0{,}9817.
Interpolando para z=2{,}08333 (que está 0,333… entre 2{,}08 e 2{,}09):
\Phi(2{,}08333)\approx 0{,}9812 + 0{,}3333\cdot(0{,}9817-0{,}9812) =0{,}9812 + 0{,}3333\cdot 0{,}0005 =0{,}9812 + 0{,}0001667 \approx 0{,}9813667.
Portanto
P(3750<X<4250)=2\cdot 0{,}9813667 - 1 = 0{,}9627334\approx 0{,}9627.

Passo 7

Interpretação rápida: isso significa que cerca de 96{,}27\% das amostras de cimento terão resistência entre 3750 e 4250 psi — faz sentido porque esses limites estão a aproximadamente 2{,}08 desvios-padrão da média, e quase 96{,}3\% da massa de uma normal fica dentro de \pm2{,}08\sigma.

Resposta

0{,}9627
96{,}27\%

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