Considere uma liga que contenha, inicialmente, uma concentração uniforme de níquel de 0,2 \% p. e eu deva ser tratada uma temperatura de 1200^{\circ} \mathrm{C}. Se a concentração de níquel na superfície for elevada e mantida em 1,3 \% p., durante 10 h , calcule a concentração de níquel na chapa a uma profundidade de 0,02 \mathrm{~mm} da superfície. Considera a chapa semi-infinita.
Dados: \mathrm{C}=3,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1} e \mathrm{Q}=316 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede a concentração de níquel a uma profundidade de 0,02\\ \mathrm{mm} da superfície após 10\\ \mathrm{h}, numa chapa tratada a 1200^\circ\mathrm{C} e considerada semi-infinita, quando a concentração inicial é 0,2\\ \% p. e a concentração da superfície é mantida em 1,3\\ \% p.
  • Dados numéricos fornecidos: C_0 = 0,2\\ \%\\ \text{p.} \quad\text{(concentração inicial)}çã
C_s = 1,3\\ \%\\ \text{p.} \quad\text{(concentração mantida na superfície)}çãí
x = 0,02\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
t = 10\\ \mathrm{h} = 36000\\ \mathrm{s}
D_0 = 3{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}} \quad\text{(pré-exponencial)}é
Q = 316\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 316000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
\text{Temperatura: } 1200^\circ\mathrm{C} = 1200 + 273 = 1473\\ \mathrm{K}
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

Passo 2

Qual método vamos usar (sem jargão difícil, só o essencial)
  • Temos uma chapa semi-infinita com concentração inicial uniforme e a superfície mantida numa concentração constante diferente. O resultado clássico para esse problema de difusão (solução da equação da difusão unidimensional para semi-infinito com superfície a concentração constante) é: C(x,t)=C_s + (C_0-C_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
  • Vou usar essa solução porque ela descreve exatamente a situação: semi-infinito, superfície mantida em concentração constante, condição inicial uniforme. Aqui \operatorname{erf} é a função erro (error function). Mais adiante eu explico o que é e como obter um valor numérico para ela.

Passo 3

Calcular o coeficiente de difusão D à temperatura dada (Arrhenius)
  • A dependência em temperatura do coeficiente de difusão tem a forma de Arrhenius: D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right),onde
    • D é o coeficiente de difusão na temperatura T,
    • D_0 é o termo pré-exponencial dado ( 3{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}),
    • Q é a energia de ativação em \mathrm{J\,mol^{-1}},
    • R é a constante dos gases perfeitos ( 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
    • T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • Substituindo os valores: \frac{Q}{R\,T}=\frac{316000}{8{,}314\cdot1473}.Calculo intermediário: 8{,}314\cdot1473 \approx 12242{,}7
\frac{Q}{R\,T}\approx\frac{316000}{12242{,}7}\approx 25{,}82.
\exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right)\approx e^{-25{,}82}\approx 6{,}34\times10^{-12}.
D = 3{,}5\times10^{-4}\cdot 6{,}34\times10^{-12}\approx 2{,}22\times10^{-15}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
  • Comentário curto e sincero: esse D ficou muito pequeno por conta da alta energia de ativação e da temperatura relativa; é normal nesse tipo de problema. Vamos prosseguir com ele.

Passo 4

Calcular 2\sqrt{D\,t} e o argumento da função erro
  • Primeiro o produto D\,t: D\,t = 2{,}22\times10^{-15}\cdot 36000 \approx 7{,}99\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Portanto \sqrt{D\,t} \approx \sqrt{7{,}99\times10^{-11}} \approx 8{,}944\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Logo 2\sqrt{D\,t} \approx 2\cdot 8{,}944\times10^{-6}=1{,}7888\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • O argumento da função erro é z=\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}=\frac{2{,}0\times10^{-5}}{1{,}7888\times10^{-5}}\approx 1{,}119.

Passo 5

O que é \operatorname{erf} e como obter \operatorname{erf}(z)
  • A função erro \operatorname{erf}(z) é a integral normalizada que aparece em soluções de difusão; varia de \operatorname{erf}(0)=0 até \operatorname{erf}(\infty)=1. Para valores numéricos usamos tabelas da função erro ou uma calculadora científica.
  • Para z\approx 1{,}119 (valor obtido no passo anterior), da tabela ou calculadora: \operatorname{erf}(1{,}119)\approx 0{,}8802.(Se na prova estiverem disponíveis tabelas de \operatorname{erf} ou uma calculadora, use-as; aqui usei o valor tabelado/avaliado.)

Passo 6

Calcular a concentração C(x,t) usando a fórmula
  • Reescrevo a fórmula e substituo: C(x,t)=C_s + (C_0-C_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
C(x,t)=1{,}3 + (0{,}2-1{,}3)\cdot 0{,}8802.
  • Calcule o termo: 0{,}2-1{,}3 = -1{,}1
-1{,}1\cdot 0{,}8802 \approx -0{,}9682
C(x,t)=1{,}3 - 0{,}9682 = 0{,}3318\\ \%\\ \text{p.}

Passo 7

Interpretação rápida e arredondamento amigável
  • O valor indica que, a 0{,}02\\ \mathrm{mm} após 10\\ \mathrm{h}, a concentração subiu de 0{,}2\\ \% p. para cerca de 0{,}332\\ \% p. — ou seja, houve aumento por difusão a partir da superfície mantida em 1{,}3\\ \% p., mas a profundidade é pequena e o coeficiente de difusão muito baixo, por isso a mudança não é enorme.
  • Arredondando com três casas significativas, o valor fica 0{,}332\\ \% p.

Resposta

0{,}332\\ \%\\ \text{p.}

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