Considere uma liga que contenha, inicialmente, uma concentração uniforme de níquel de
p. e eu deva ser tratada uma temperatura de
. Se a concentração de níquel na superfície for elevada e mantida em
p., durante 10 h , calcule a concentração de níquel na chapa a uma profundidade de
da superfície. Considera a chapa semi-infinita.
Dados:
e
.
Dados:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede a concentração de níquel a uma profundidade de
da superfície após , numa chapa tratada a e considerada semi-infinita, quando a concentração inicial é p. e a concentração da superfície é mantida em p. - Dados numéricos fornecidos:
Passo 2
Qual método vamos usar (sem jargão difícil, só o essencial)
- Temos uma chapa semi-infinita com concentração inicial uniforme e a superfície mantida numa concentração constante diferente. O resultado clássico para esse problema de difusão (solução da equação da difusão unidimensional para semi-infinito com superfície a concentração constante) é:
- Vou usar essa solução porque ela descreve exatamente a situação: semi-infinito, superfície mantida em concentração constante, condição inicial uniforme. Aqui
é a função erro (error function). Mais adiante eu explico o que é e como obter um valor numérico para ela.
Passo 3
Calcular o coeficiente de difusão
à temperatura dada (Arrhenius)
- A dependência em temperatura do coeficiente de difusão tem a forma de Arrhenius:
onde -
é o coeficiente de difusão na temperatura , -
é o termo pré-exponencial dado ( ), -
é a energia de ativação em , -
é a constante dos gases perfeitos ( ), -
é a temperatura em .
-
- Substituindo os valores:
Calculo intermediário:
- Comentário curto e sincero: esse
ficou muito pequeno por conta da alta energia de ativação e da temperatura relativa; é normal nesse tipo de problema. Vamos prosseguir com ele.
Passo 4
Calcular
e o argumento da função erro
- Primeiro o produto
: - Portanto
- Logo
- O argumento da função erro é
Passo 5
O que é
e como obter
- A função erro
é a integral normalizada que aparece em soluções de difusão; varia de até . Para valores numéricos usamos tabelas da função erro ou uma calculadora científica. - Para
(valor obtido no passo anterior), da tabela ou calculadora: (Se na prova estiverem disponíveis tabelas de ou uma calculadora, use-as; aqui usei o valor tabelado/avaliado.)
Passo 6
Calcular a concentração
usando a fórmula
- Reescrevo a fórmula e substituo:
- Calcule o termo:
Passo 7
Interpretação rápida e arredondamento amigável
- O valor indica que, a
após , a concentração subiu de p. para cerca de p. — ou seja, houve aumento por difusão a partir da superfície mantida em p., mas a profundidade é pequena e o coeficiente de difusão muito baixo, por isso a mudança não é enorme. - Arredondando com três casas significativas, o valor fica
p.