1. Após t meses no trabalho, um empregado do correio pode classificar Q(t)=700-400 \epsilon^{-0.5 t} cartas por hora. Qual a taxa média na qual o funcionário classifica as cartas durante os primeiros 3 meses de trabalho?
\begin{aligned} & C(2160)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}\left(700-400 \epsilon^{-0.5 t}\right) d t \\ & C(2160)=\frac{1}{3-0} \int_{0}^{3}\left(700-400 \epsilon^{-0.5 t}\right) d t \\ & C(2160)=\frac{1}{3}\left[700-400 \epsilon^{-0.5 t}\right]_{0}^{3} \\ & C(2160)=\frac{1}{3}\left(2100+800 \epsilon^{-1.5}-(0+800)\right) \\ & C(2160) \cong \frac{1}{3}(2278.5-800) \\ & C(2160) \cong 493 \text { cartas por hora } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção horária
Q(t) = 700 - 400e^{-0.5t},
onde t é dado em meses, e pede a taxa média de classificação durante os primeiros 3 meses. O conteúdo usado aqui é o valor médio de uma função contínua num intervalo, dado por
\frac{1}{b-a}\int_a^b Q(t)\,dt.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do valor médio em [0,3]:
C = \frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}\bigl(700 - 400e^{-0.5t}\bigr)\,dt = \frac{1}{3}\int_{0}^{3}\bigl(700 - 400e^{-0.5t}\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculamos a integral:
\int\bigl(700 - 400e^{-0.5t}\bigr)\,dt = \int700\,dt \;-\;400\int e^{-0.5t}\,dt =700t \;-\;400\cdot\frac{e^{-0.5t}}{-0.5} =700t + 800e^{-0.5t}.

Passo 4

Avaliamo em 0 e em 3:
\bigl[700t + 800e^{-0.5t}\bigr]_{0}^{3} = \bigl(2100 + 800e^{-1.5}\bigr) - \bigl(0 + 800\cdot1\bigr) =1300 + 800e^{-1.5}.
Logo a média é
C = \frac{1}{3}\bigl(1300 + 800e^{-1.5}\bigr) \approx \frac{1478{,}5}{3} \approx 492{,}8.

Resposta

A taxa média durante os primeiros 3 meses é aproximadamente 493 cartas por hora.

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