1. Por várias semanas, o departamento de estradas de rodagem vem registrando a velocidade do tráfego em uma estrada a partir de um certo ponto. Os dados sugerem que, entre as 13 h e 18 h de um fim de semana normal, a velocidade do tráfego no ponto é de aproximadamente S(t)=t^{3}-10.5 t^{2}+30 t+20 milhas por hora, onde t é o número de horas após o meio-dia. Calcule a velocidade média do tráfego entre 13 h e as 18 h .
    A meta é encontrar o valor médio de S(t) no intervalo 1 \leq t \leq 6. Então a velocidade média é:
    V_{m}=\frac{1}{6-1} \int_{1}^{6}\left(t^{3}-10.5 t^{2}+30 t+20\right) d t
    V_{m}=\frac{1}{5}\left[\frac{1}{4} t^{4}-\frac{10.5}{3} t^{3}+15 t^{2}+20 t\right]_{1}^{6}
    V_{m}=\frac{1}{5}(228-31.75)
    V_{m}=39.25 milhas por hora

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade do tráfego é dada por
S(t)=t^{3}-10.5\,t^{2}+30\,t+20
onde t é o número de horas após o meio-dia. Queremos a velocidade média entre 13 h e 18 h, ou seja, para t de 1 até 6. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função usando integral definida.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do valor médio de S(t) em [1,6]:
V_{m} \;=\;\frac{1}{6-1}\int_{1}^{6}S(t)\,dt
Substituindo S(t):
V_{m} = \frac{1}{5}\int_{1}^{6}\bigl(t^{3}-10.5\,t^{2}+30\,t+20\bigr)\,dt.

Passo 3

Primeiro achamos uma antiderivada F(t):
F(t)=\frac{t^{4}}{4}-\frac{10.5}{3}\,t^{3}+15\,t^{2}+20\,t
Note que \frac{10.5}{3}=3.5. Agora avaliamos de 1 a 6:
\int_{1}^{6}S(t)\,dt = F(6)-F(1) = \bigl(324-756+540+120\bigr)\;-\;\bigl(\tfrac14-3.5+15+20\bigr) =228-31.75=196.25.

Passo 4

Finalmente, dividimos pelo comprimento do intervalo:
V_{m}=\frac{196.25}{5}=39.25
milhas por hora.

Resposta

A velocidade média do tráfego entre 13 h e 18 h é 39.25 milhas por hora.

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