Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O enunciado dá uma base
do espaço
e pede para transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt, mantendo a ordem dos vetores conforme fornecida. Os vetores fornecidos são (peguei estes vetores do enunciado):
O que se quer: uma base ortonormal
obtida a partir de
na ordem dada.
Passo 2
Vou lembrar os conceitos e fórmulas que vou usar (aqui explico como o processo funciona, devagarinho).
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
Isto mede “quanto” dois vetores apontam na mesma direção.
- Norma (comprimento) de
:
- Projeção de um vetor
sobre um vetor unitário (com ):
- Gram–Schmidt (ordem
): define-se vetores por
onde
é o vetor normalizado. Assim obtemos uma base ortonormal
.
Passo 3
Começo com
.
Calcular a norma de
:
Normalizo para obter
:
Aqui
tem norma
por construção.
Passo 4
Agora trato
.
Calculo a projeção de
sobre
. Primeiro o produto escalar:
Como
, a projeção de
sobre
é o vetor nulo:
Portanto
Calculo a norma de
:
Normalizo:
Note:
é ortogonal a
porque a projeção foi zero.
Passo 5
Agora
. Vou retirar as componentes ao longo de
e
.
Calculo
:
Então
(Aqui multipliquei
, etc.)
Calculo
:
Então
Agora subtraio as projeções para obter
:
Calculo componente a componente:
Passo 6
Calculo a norma de
:
Normalizo para obter
:
Simplificando as frações com
:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro):
-
, , . - Produtos escalares:
, , .
Isto confirma queé realmente uma base ortonormal obtida pela ordem dada.