Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(0,1,2),(2,0,0),(1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado dá uma base B do espaço \mathbb{R}^{3} e pede para transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt, mantendo a ordem dos vetores conforme fornecida. Os vetores fornecidos são (peguei estes vetores do enunciado):
  • v_{1}=(0,1,2)
  • v_{2}=(2,0,0)
  • v_{3}=(1,1,1)
O que se quer: uma base ortonormal \{e_{1},e_{2},e_{3}\} obtida a partir de v_{1},v_{2},v_{3} na ordem dada.

Passo 2

Vou lembrar os conceitos e fórmulas que vou usar (aqui explico como o processo funciona, devagarinho).
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{3}: para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}),
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
Isto mede “quanto” dois vetores apontam na mesma direção.
  • Norma (comprimento) de x:
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor unitário u (com \|u\|=1):
\operatorname{proj}_{u}(v)=\langle v,u\rangle\,u.
  • Gram–Schmidt (ordem v_{1},v_{2},v_{3}): define-se vetores u_{1},u_{2},u_{3} por
u_{1}=v_{1},\qquad u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2}),\qquad u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{e_{2}}(v_{3}),
onde e_{i}=u_{i}/\|u_{i}\| é o vetor normalizado. Assim obtemos uma base ortonormal \{e_{1},e_{2},e_{3}\}.

Passo 3

Começo com v_{1}=(0,1,2).
Calcular a norma de v_{1}:
\|v_{1}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Normalizo para obter e_{1}:
e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|=\sqrt{5}}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Aqui e_{1} tem norma 1 por construção.

Passo 4

Agora trato v_{2}=(2,0,0).
Calculo a projeção de v_{2} sobre e_{1}. Primeiro o produto escalar:
\langle v_{2},e_{1}\rangle = (2,0,0)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =2\cdot 0 + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + 0\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = 0.
Como \langle v_{2},e_{1}\rangle=0, a projeção de v_{2} sobre e_{1} é o vetor nulo:
\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2})=0\cdot e_{1}= (0,0,0).
Portanto
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2})=v_{2}=(2,0,0).
Calculo a norma de u_{2}:
\|u_{2}\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
Normalizo:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{1}{2}(2,0,0)=(1,0,0).
Note: e_{2} é ortogonal a e_{1} porque a projeção foi zero.

Passo 5

Agora v_{3}=(1,1,1). Vou retirar as componentes ao longo de e_{1} e e_{2}.
Calculo \langle v_{3},e_{1}\rangle:
\langle v_{3},e_{1}\rangle = (1,1,1)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =0 + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
Então
\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{3})=\frac{3}{\sqrt{5}}\,e_{1} =\frac{3}{\sqrt{5}}\left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =\left(0,\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right).
(Aqui multipliquei \dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{5}, etc.)
Calculo \langle v_{3},e_{2}\rangle:
\langle v_{3},e_{2}\rangle=(1,1,1)\cdot(1,0,0)=1.
Então
\operatorname{proj}_{e_{2}}(v_{3})=1\cdot e_{2}=(1,0,0).
Agora subtraio as projeções para obter u_{3}:
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{e_{2}}(v_{3}) =(1,1,1)-\left(0,\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right)-(1,0,0).
Calculo componente a componente:
u_{3}=\bigl(1-0-1,\;1-\tfrac{3}{5}-0,\;1-\tfrac{6}{5}-0\bigr) =(0,\;1-\tfrac{3}{5},\;1-\tfrac{6}{5}) =(0,\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5}).

Passo 6

Calculo a norma de u_{3}:
\|u_{3}\|=\sqrt{0^{2}+\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{4}{25}+\tfrac{1}{25}}=\sqrt{\tfrac{5}{25}}=\sqrt{\tfrac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Normalizo para obter e_{3}:
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|} = \frac{(0,\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5})}{1/\sqrt{5}} =(0,\tfrac{2}{5}\sqrt{5},-\tfrac{1}{5}\sqrt{5}).
Simplificando as frações com \sqrt{5}:
\tfrac{2}{5}\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad -\tfrac{1}{5}\sqrt{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{1}{\sqrt{5}}.
Portanto
e_{3}=\left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro):
  • \|e_{1}\|=1, \|e_{2}\|=1, \|e_{3}\|=1.
  • Produtos escalares: \langle e_{1},e_{2}\rangle=0, \langle e_{1},e_{3}\rangle=0, \langle e_{2},e_{3}\rangle=0.
    Isto confirma que \{e_{1},e_{2},e_{3}\} é realmente uma base ortonormal obtida pela ordem dada.

Resposta

\displaystyle e_{1}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\displaystyle e_{2}=(1,0,0)
\displaystyle e_{3}=\left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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