Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(4,-3,0),(1,2,0),(0,0,4)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei os vetores do enunciado):
  • Vetores na base dada, na ordem indicada:
    v_1 = (4,-3,0),
    v_2 = (1,2,0),
    v_3 = (0,0,4).
  • Pedido: aplicar o processo de Gram–Schmidt na ordem dada para obter uma base ortonormal (isto é, vetores mutuamente ortogonais e com norma 1) do subespaço gerado por B.
Observação importante: vou usar o produto interno euclidiano padrão em \mathbb{R}^3, isto é, para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3)
x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3,
e a norma é \|x\|=\sqrt{x\cdot x}.

Passo 2

Breve explicação do método (fórmulas e significado):
  • A ideia do Gram–Schmidt é transformar os v_k em vetores ortogonais u_k e depois normalizar cada um para obter e_k com \|e_k\|=1.
  • Fórmulas gerais (para k\ge1):
u_1 = v_1,\qquad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}.
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \mathrm{proj}_{e_j}(v_k), \qquad \mathrm{proj}_{e_j}(v_k) = (v_k\cdot e_j)\,e_j, \qquad e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}.
  • O produto v_k\cdot e_j dá a componente de v_k na direção de e_j; subtraímos todas essas componentes para tornar u_k ortogonal a todos os e_j anteriores. Depois normalizamos para ter norma 1.

Passo 3

Primeiro vetor ortonormal e_1.
  • Tomamos u_1 = v_1 = (4,-3,0).
  • Calculamos a norma:
\|u_1\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5.
  • Normalizando:
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}, 0\right).
Explicação curta: e_1 tem comprimento 1 e aponta na direção de v_1.

Passo 4

Segundo vetor ortonormal e_2.
  • Primeiro calculamos a projeção de v_2 sobre e_1. O coeficiente é o produto escalar
v_2\cdot e_1 = (1)\cdot\frac{4}{5} + (2)\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) + 0\cdot 0 = \frac{4-6}{5} = -\frac{2}{5}.
  • A projeção é
\mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = (v_2\cdot e_1)\,e_1 = -\frac{2}{5}\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right) = \left(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0\right).
  • Subtraímos para obter u_2 ortogonal a e_1:
u_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = \left(1,2,0\right) - \left(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0\right) = \left(\frac{33}{25},\frac{44}{25},0\right).
  • Calculamos a norma de u_2:
\|u_2\| = \sqrt{\left(\frac{33}{25}\right)^2 + \left(\frac{44}{25}\right)^2 + 0^2} = \frac{1}{25}\sqrt{33^2 + 44^2} = \frac{1}{25}\sqrt{1089+1936} = \frac{1}{25}\sqrt{3025} = \frac{55}{25} = \frac{11}{5}.
  • Normalizamos u_2:
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{\left(\tfrac{33}{25},\tfrac{44}{25},0\right)}{\tfrac{11}{5}} = \left(\frac{33}{25}\cdot\frac{5}{11},\frac{44}{25}\cdot\frac{5}{11},0\right).
Simplificando (observe 33/11=3 e 44/11=4):
e_2 = \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right).
Comentário: é comum que as frações se simplifiquem e acabemos com componentes simples, como aqui.

Passo 5

Terceiro vetor ortonormal e_3.
  • Calculamos projeções de v_3=(0,0,4) sobre e_1 e e_2.
  • Produto com e_1:
v_3\cdot e_1 = 0\cdot\frac{4}{5} + 0\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) + 4\cdot 0 = 0.
  • Produto com e_2:
v_3\cdot e_2 = 0\cdot\frac{3}{5} + 0\cdot\frac{4}{5} + 4\cdot 0 = 0.
  • Como ambos os produtos escalares são 0, as projeções são nulas e
u_3 = v_3 - 0 - 0 = v_3 = (0,0,4).
  • Norma de u_3:
\|u_3\| = \sqrt{0^2+0^2+4^2} = 4.
  • Normalizando:
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \left(0,0,1\right).
Explicação: v_3 já é ortogonal a e_1 e e_2, então só resta normalizá-lo.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática):
  • Normas: \|e_1\|=\|e_2\|=\|e_3\|=1 por construção.
  • Ortogonalidade: e_1\cdot e_2 = \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{4}{5} + 0 = \frac{12-12}{25}=0,
e_1\cdot e_3 = 0,\qquad e_2\cdot e_3 = 0.
Logo os vetores são ortonormais entre si.
Força aí — se precisar, repito a técnica com outros vetores ou te dou exercícios parecidos para treinar!

Resposta

\left(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5},0\right)
\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},0\right)
(0,0,1)

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