Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei os vetores do enunciado):
-
Vetores na base dada, na ordem indicada:
,
,
. -
Pedido: aplicar o processo de Gram–Schmidt na ordem dada para obter uma base ortonormal (isto é, vetores mutuamente ortogonais e com norma
) do subespaço gerado por .
Observação importante: vou usar o produto interno euclidiano padrão em
, isto é, para
e
e a norma é
.
Passo 2
Breve explicação do método (fórmulas e significado):
- A ideia do Gram–Schmidt é transformar os
em vetores ortogonais e depois normalizar cada um para obter com . - Fórmulas gerais (para
):
- O produto
dá a componente de na direção de ; subtraímos todas essas componentes para tornar ortogonal a todos os anteriores. Depois normalizamos para ter norma .
Passo 3
Primeiro vetor ortonormal
.
- Tomamos
. - Calculamos a norma:
- Normalizando:
Explicação curta:
tem comprimento
e aponta na direção de
.
Passo 4
Segundo vetor ortonormal
.
- Primeiro calculamos a projeção de
sobre . O coeficiente é o produto escalar
- A projeção é
- Subtraímos para obter
ortogonal a :
- Calculamos a norma de
:
- Normalizamos
:
Simplificando (observe
e
):
Comentário: é comum que as frações se simplifiquem e acabemos com componentes simples, como aqui.
Passo 5
Terceiro vetor ortonormal
.
- Calculamos projeções de
sobre e . - Produto com
:
- Produto com
:
- Como ambos os produtos escalares são
, as projeções são nulas e
- Norma de
:
- Normalizando:
Explicação:
já é ortogonal a
e
, então só resta normalizá-lo.
Passo 6
Verificação rápida (confirmação didática):
- Normas:
por construção. - Ortogonalidade:
Logo os vetores são ortonormais entre si.
Força aí — se precisar, repito a técnica com outros vetores ou te dou exercícios parecidos para treinar!