Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1)\}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados os vetores da base B em \mathbb{R}^3, na ordem dada:
    • v_1=(2,1,-2)
    • v_2=(1,2,2)
    • v_3=(2,-2,1)
  • O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt usando esses vetores na ordem dada para obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais e de norma 1).

Passo 2

Breve aula sobre o método (Gram–Schmidt) e fórmulas que vamos usar — explicação passo a passo e sem pular etapas.
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
    \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
    Aqui \langle x,y\rangle é um número real; é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Norma associada ao produto interno:
    \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.
    A norma mede o “tamanho” do vetor.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor não nulo u:
    \operatorname{proj}_{u}v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
    Isso dá o componente de v na direção de u.
  • Procedimento de Gram–Schmidt (resumo): começando com v_1,v_2,v_3,
    \begin{aligned} u_1 &= v_1,\\\ u_2 &= v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}v_2,\\\ u_3 &= v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}v_3 - \operatorname{proj}_{u_2}v_3. \end{aligned}
    Os vetores u_i obtidos são mutuamente ortogonais (se tudo der certo). Depois normaliza-se:
    e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|},
    obtendo uma base ortonormal \{e_1,e_2,e_3\}.
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente, calculando produto interno e norma em cada passo.

Passo 3

Construção do primeiro vetor ortogonal e sua normalização.
  • Escolhemos u_1 = v_1 = (2,1,-2).
  • Calcular \langle u_1,u_1\rangle para obter a norma ao quadrado:
    \langle u_1,u_1\rangle = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9.
    Então \|u_1\| = \sqrt{9} = 3.
  • Normalizar para obter e_1:
    e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{3}(2,1,-2) = \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right).

Passo 4

Construção do segundo vetor ortogonal u_2 e sua normalização.
  • Fórmula:
    u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}v_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.
  • Calcular \langle v_2,u_1\rangle:
    \langle v_2,u_1\rangle = (1)(2) + (2)(1) + (2)(-2) = 2 + 2 - 4 = 0.
    Como o produto interno é 0, a projeção de v_2 sobre u_1 é o vetor nulo.
  • Logo
    u_2 = v_2 - 0 = v_2 = (1,2,2).
  • Calcular a norma de u_2:
    \langle u_2,u_2\rangle = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9,
    então \|u_2\| = 3.
  • Normalizar:
    e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{3}(1,2,2) = \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 5

Construção do terceiro vetor ortogonal u_3 e sua normalização.
  • Fórmula:
    u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}v_3 - \operatorname{proj}_{u_2}v_3 = v_3 - \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 - \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2.
  • Calcular \langle v_3,u_1\rangle:
    \langle v_3,u_1\rangle = (2)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 4 - 2 - 2 = 0.
    Então a primeira projeção é zero.
  • Calcular \langle v_3,u_2\rangle (lembre que u_2=v_2):
    \langle v_3,u_2\rangle = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0.
    Também zero, então a segunda projeção é zero.
  • Portanto
    u_3 = v_3 - 0 - 0 = v_3 = (2,-2,1).
  • Norma de u_3:
    \langle u_3,u_3\rangle = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9,
    então \|u_3\| = 3.
  • Normalizar:
    e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{1}{3}(2,-2,1) = \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil para entender): os vetores u_1,u_2,u_3 deram ortogonais porque os produtos internos que calculamos foram zero. Como cada \|u_i\|=3, a normalização foi simples (dividir por 3). Assim obtemos uma base ortonormal formada por e_1,e_2,e_3.

Resposta

\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}\right)
\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)
\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)

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