Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
-
Dados os vetores da base
em , na ordem dada: -
-
O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt usando esses vetores na ordem dada para obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais e de norma
).
Passo 2
Breve aula sobre o método (Gram–Schmidt) e fórmulas que vamos usar — explicação passo a passo e sem pular etapas.
-
Produto interno padrão em
: para e , Aquié um número real; é a soma dos produtos das componentes correspondentes. -
Norma associada ao produto interno:A norma mede o “tamanho” do vetor.
-
Projeção de um vetor
sobre um vetor não nulo : Isso dá o componente dena direção de . -
Procedimento de Gram–Schmidt (resumo): começando com
, Os vetoresobtidos são mutuamente ortogonais (se tudo der certo). Depois normaliza-se: obtendo uma base ortonormal.
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente, calculando produto interno e norma em cada passo.
Passo 3
Construção do primeiro vetor ortogonal e sua normalização.
-
Escolhemos
. -
Calcular
para obter a norma ao quadrado: Então. -
Normalizar para obter
:
Passo 4
Construção do segundo vetor ortogonal
e sua normalização.
-
Fórmula:
-
Calcular
: Como o produto interno é, a projeção de sobre é o vetor nulo. -
Logo
-
Calcular a norma de
: então. -
Normalizar:
Passo 5
Construção do terceiro vetor ortogonal
e sua normalização.
-
Fórmula:
-
Calcular
: Então a primeira projeção é zero. -
Calcular
(lembre que ): Também zero, então a segunda projeção é zero. -
Portanto
-
Norma de
: então. -
Normalizar:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil para entender): os vetores
deram ortogonais porque os produtos internos que calculamos foram zero. Como cada
, a normalização foi simples (dividir por
). Assim obtemos uma base ortonormal formada por
.