Aprendam como parametrizar cônicas resolvando o seguinte desafio:
Vamos modelar um vaso em 3D usando Geometria Analítica! Para isso vocês irão descrever de forma paramétrica uma curva fechada que irá representar o corte horizontal (paralelo ao plano XY) do vaso. (Por exemplo, o corte horizontal de um copo pode ser representado por uma circunferência) Os 2 modelos mais interessantes serão utilizados para construirmos um arquivo STL do vaso completo que irá ser impresso em 3D!

REGRAS:

  • A curva deverá ser composta de subcurvas onde pelo menos 3 delas devem ser pedaços de CÔNICAS DISTINTAS (elipse, circunferência, parábola ou hipérbole). As demais podem ser segmentos de reta. (DICA: os segmentos podem ser usados para juntar dois pedaçcos de cônicas que estejam “distantes”!)
  • A curva deve ser fechada e interamente contida no primeiro quadrante.
  • Façam o desenho da curva, identificando cada subcurva, explicitando os pontos de interseção entre as elas e detalhando as equações paramétricas de cada uma INCLUINDO o intervalo onde o parâmetro deverá variar em cada caso. Não serão aceitos desenhos/parametrizações iguais!
ATENÇÃO: Esse trabalho valerá ATÉ 2 pontos adicionados na média do grupo e deverá ser entregue na próxima aula, dia 27 de novembro EM HORÁRIO DE AULA.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa uma curva fechada no primeiro quadrante, composta por subcurvas, sendo que pelo menos três dessas subcurvas devem ser pedaços de cônicas distintas (escolheremos uma elipse, uma circunferência e uma parábola). Devemos fornecer para cada subcurva:
  • a equação paramétrica (com todas as variáveis explicadas),
  • o intervalo do parâmetro,
  • os pontos de interseção entre subcurvas,
  • um desenho/identificação (aqui iremos descrever cada subcurva e suas extremidades para que o desenho fique claro).
    Condições dadas: a curva inteira deve ficar no primeiro quadrante e ser fechada; podemos usar segmentos de reta para ligar pedaços de cônicas.

Passo 2

Antes de montar a curva, vamos revisar como parametrizar cada tipo de cônica (aulas pequenas e concretas, sem pular passos).
Elipse (forma canônica e parametrização):
  • Equação implícita padrão centrada em (x_0,y_0)\): \(\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\). Aqui \(a>0\) é o semi-eixo horizontal e \(b>0\) o semi-eixo vertical; \((x_0,y_0)\) é o centro. - Parametrização trigonométrica usual: \[\begin{cases} x=x_0+a\cos t\\[4pt] y=y_0+b\sin t \end{cases}
onde t\] varia em um intervalo (por exemplo, de \[0 a 2\pi percorre toda a elipse). A razão: \cos^2 t+\sin^2 t=1 garante que os pontos satisfazem a equação implícita. Cada valor de t dá um ponto; extremos de \cos e \sin dão os vértices da elipse.
Circunferência (caso especial da elipse):
  • Equação: (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2, com centro (x_c,y_c) e raio r.
  • Parametrização: \begin{cases} x=x_c+r\cos\theta\\[4pt] y=y_c+r\sin\theta \end{cases}
ou qualquer reparametrização trigonométrica equivalente (por exemplo, trocar \cos\] por \[\sin com deslocamento de ângulo). De novo, \theta em um intervalo especifica o arco.
Parábola (forma canônica e parametrização simples):
  • Forma canônica vertical: y = \alpha (x-h)^2 + k. Aqui (h,k) é o vértice e \alpha controla a abertura (se \alpha>0, abre para cima; \alpha<0, abre para baixo).
  • Parametrização simples usando x como parâmetro: \begin{cases} x = t\\[4pt] y = \alpha (t-h)^2 + k \end{cases}
com t\] variando num intervalo. Essa é uma parametrização direta: cada \[t é a abscissa.
Segmento de reta (parametrização prática):
  • Dado segmento entre P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), parametrizamos por s\in[0,1]:
\begin{cases} x = (1-s)x_1 + s x_2\\[4pt] y = (1-s)y_1 + s y_2 \end{cases}
Assim em s=0\] obtemos \(P e em s=1 obtemos Q.]

Passo 3

Escolha da construção (estratégia prática): para garantir curvas simples, fechadas e no primeiro quadrante, vamos construir uma peça contínua com 6 subcurvas na ordem (percorrendo no sentido horário):
  1. Elipse (arco) ligando o ponto A=(2,2) ao ponto B=(3,4).
  2. Circunferência (arco) ligando B=(3,4) a C=(4,3).
  3. Parábola ligando C=(4,3) a D=(5,1).
  4. Segmento horizontal ligando D=(5,1) a E=(2,1).
  5. Segmento vertical ligando E=(2,1) a A=(2,2).
    Dessa forma fechamos o contorno. As três cônicas distintas exigidas são: elipse, circunferência e parábola. Todos os pontos têm coordenadas positivas (primeiro quadrante). Agora vamos dar equações paramétricas para cada peça, escolhendo parâmetros de modo simples (intervalos de 0 a 1 ou de 0 a \pi/2, etc.).

Passo 4

Definição e justificativa da elipse escolhida:
  • Queremos uma elipse que passe por A=(2,2)\) e por \(B=(3,4)\). Tomamos como centro \((3,2)\), semi-eixo horizontal \(a=1\) e semi-eixo vertical \(b=2\). Assim a elipse tem equação implícita \(\dfrac{(x-3)^2}{1^2}+\dfrac{(y-2)^2}{2^2}=1\). - Parametrização baseada na fórmula da elipse (ver passo 2). Para que ao iniciar o arco em \(A\) e terminar em \(B\) usemos um parâmetro \(t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\) e a parametrização: \[\begin{cases} x(t)=3-\cos t\\[4pt] y(t)=2+2\sin t \end{cases},\qquad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Verificação das extremidades:
  • Em t=0\]: \(\cos 0=1,\\ \sin 0=0 então x=3-1=2,\\ y=2+0=2 — ponto A.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0,\\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1 então x=3,\\ y=4 — ponto B.
    Comentário rápido: essa parametrização é igual a tomar a parametrização clássica x=3+a\cos u,\\ y=2+b\sin u com uma troca u=\pi - t; é apenas uma escolha para ter t crescendo de 0 a \tfrac{\pi}{2} no sentido que desejamos.]

Passo 5

Definição e justificativa da circunferência escolhida:
  • Tomamos a circunferência de centro (3,3)\) e raio \(r=1\). Ela tem equação \((x-3)^2+(y-3)^2=1\). - Queremos o arco que vai de \(B=(3,4)\) a \(C=(4,3)\). Reparametrizamos de forma que o parâmetro cresça de \(0\) a \(\tfrac{\pi}{2}\) e o arco comece em \(B\). Uma forma prática é usar \[\begin{cases} x(t)=3+\sin t\\[4pt] y(t)=3+\cos t \end{cases},\qquad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Verificação das extremidades:
  • Em t=0\]: \(\sin 0=0,\\ \cos 0=1 então x=3,\\ y=4 — ponto B.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}: \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\\ \cos\tfrac{\pi}{2}=0 então x=4,\\ y=3 — ponto C.
    Observação: isto é apenas uma reparametrização da forma clássica x=3+\cos\theta,\\ y=3+\sin\theta, trocando \theta por \tfrac{\pi}{2}-t.]

Passo 6

Definição e justificativa da parábola escolhida:
  • Tomamos como modelo a parábola com vértice em V=(4,3)\) e que abre para baixo, de forma a passar por \(C=(4,3)\) (vértice) e por \(D=(5,1)\). Assim escolhemos a forma \[y = 3 - a(x-4)^2.
  • Impondo que em x=5 temos y=1: 1 = 3 - a(1)^2 a=2. Logo a parábola é y = 3 - 2(x-4)^2.
  • Parametrização simples usando u como abscissa: \begin{cases} x(u)=4+u\\[4pt] y(u)=3-2u^2 \end{cases},\qquad u\in[0,1].
Verificação:
  • Em u=0\]: \((x,y)=(4,3) que é C (vértice).
  • Em u=1: (x,y)=(5,1) que é D.
    Comentário: esta é a forma direta de parametrizar uma parábola vertical (usar a própria x como parâmetro é prático quando queremos um intervalo de x específico).]

Passo 7

Parametrização dos segmentos de reta que fecham a curva:
  • Segmento horizontal S_1\) de \(D=(5,1)\) até \(E=(2,1)\). Parametrizamos por \(v\in[0,1]\): \[\begin{cases} x(v)=5-3v\\[4pt] y(v)=1 \end{cases},\qquad v\in[0,1].
Verificação: v=0\Rightarrow(5,1)=D\]; \[v=1\Rightarrow(2,1)=E.
  • Segmento vertical S_2 de E=(2,1) até A=(2,2). Parametrizamos por w\in[0,1]:
\begin{cases} x(w)=2\\[4pt] y(w)=1+w \end{cases},\qquad w\in[0,1].
Verificação: w=0\Rightarrow(2,1)=E\]; \(w=1\Rightarrow(2,2)=A.]

Passo 8

Verificações das interseções e da propriedade “primeiro quadrante”:
  • Interseção entre elipse e circunferência: ambos foram desenhados para se encontrarem exatamente em B=(3,4). Verificação rápida por substituição:
    • Elipse em t=\tfrac{\pi}{2}: x=3,\\ y=4.
    • Circunferência em t=0: x=3,\\ y=4.
      Logo ponto comum B=(3,4).
  • Interseção entre circunferência e parábola: ambos têm o ponto C=(4,3):
    • Circunferência em t=\tfrac{\pi}{2}: x=4,\\ y=3.
    • Parábola em u=0: x=4,\\ y=3.
      Logo ponto comum C=(4,3).
  • Interseção entre parábola e segmento horizontal: parábola em u=1 D=(5,1), que é o início do segmento S_1.
  • Interseção entre segmento horizontal e segmento vertical: em E=(2,1).
  • Interseção entre segmento vertical e elipse: em A=(2,2).
  • Não há outras interseções inesperadas: todos os pedaços ocupam regiões distintas ou se tocam apenas nos pontos indicados. E todas as coordenadas listadas têm x>0 e y>0 (primeiro quadrante).

Passo 9

Resumo geométrico (como desenhar e identificar no croqui):
  • Comece em A=(2,2). Desenhe o arco de elipse parametrizado por t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] até B=(3,4).
  • Do ponto B desenhe o arco de circunferência parametrizado por t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] até C=(4,3).
  • Do ponto C siga a parábola parametrizada por u\in[0,1] até D=(5,1).
  • Do ponto D trace o segmento horizontal até E=(2,1) usando v\in[0,1].
  • Do ponto E trace o segmento vertical até A=(2,2) usando w\in[0,1]. A curva está fechada.
    Dica para o desenho: marque os pontos A,B,C,D,E e identifique cada arco/segmento com sua letra; cada parâmetro foi escolhido para que em suas extremidades o valor do parâmetro seja exatamente 0 ou 1 (ou 0 e \tfrac{\pi}{2}), facilitando o traço e a conferência.

Resposta

Elipse (arco de A=(2,2)\) a \(B=(3,4)\)): \[\begin{cases} x(t)=3-\cos t\\[4pt] y(t)=2+2\sin t \end{cases},\qquad t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]
Circunferência (arco de B=(3,4)\] a \[C=(4,3)), centro (3,3), raio 1:
\begin{cases} x(t)=3+\sin t\\[4pt] y(t)=3+\cos t \end{cases},\qquad t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]
Parábola (de C=(4,3)\] a \[D=(5,1)), vértice em (4,3), equação y=3-2(x-4)^2:
\begin{cases} x(u)=4+u\\[4pt] y(u)=3-2u^2 \end{cases},\qquad u\in[0,1]
Segmento horizontal (de D=(5,1)\] a \[E=(2,1)):
\begin{cases} x(v)=5-3v\\[4pt] y(v)=1 \end{cases},\qquad v\in[0,1]
Segmento vertical (de E=(2,1)\] a \(A=(2,2)):
\begin{cases} x(w)=2\\[4pt] y(w)=1+w \end{cases},\qquad w\in[0,1]
Pontos de interseção (extremidades comuns):
A=(2,2),\quad B=(3,4),\quad C=(4,3),\quad D=(5,1),\quad E=(2,1).]

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