Aprendam como parametrizar cônicas resolvando o seguinte desafio:
Vamos modelar um vaso em 3D usando Geometria Analítica! Para isso vocês irão descrever de forma paramétrica uma curva fechada que irá representar o corte horizontal (paralelo ao plano XY) do vaso. (Por exemplo, o corte horizontal de um copo pode ser representado por uma circunferência) Os 2 modelos mais interessantes serão utilizados para construirmos um arquivo STL do vaso completo que irá ser impresso em 3D!
REGRAS:
- A curva deverá ser composta de subcurvas onde pelo menos 3 delas devem ser pedaços de CÔNICAS DISTINTAS (elipse, circunferência, parábola ou hipérbole). As demais podem ser segmentos de reta. (DICA: os segmentos podem ser usados para juntar dois pedaçcos de cônicas que estejam “distantes”!)
- A curva deve ser fechada e interamente contida no primeiro quadrante.
- Façam o desenho da curva, identificando cada subcurva, explicitando os pontos de interseção entre as elas e detalhando as equações paramétricas de cada uma INCLUINDO o intervalo onde o parâmetro deverá variar em cada caso. Não serão aceitos desenhos/parametrizações iguais!
ATENÇÃO: Esse trabalho valerá ATÉ 2 pontos adicionados na média do grupo e deverá ser entregue na próxima aula, dia 27 de novembro EM HORÁRIO DE AULA.
Vamos modelar um vaso em 3D usando Geometria Analítica! Para isso vocês irão descrever de forma paramétrica uma curva fechada que irá representar o corte horizontal (paralelo ao plano XY) do vaso. (Por exemplo, o corte horizontal de um copo pode ser representado por uma circunferência) Os 2 modelos mais interessantes serão utilizados para construirmos um arquivo STL do vaso completo que irá ser impresso em 3D!
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa uma curva fechada no primeiro quadrante, composta por subcurvas, sendo que pelo menos três dessas subcurvas devem ser pedaços de cônicas distintas (escolheremos uma elipse, uma circunferência e uma parábola). Devemos fornecer para cada subcurva:
- a equação paramétrica (com todas as variáveis explicadas),
- o intervalo do parâmetro,
- os pontos de interseção entre subcurvas,
- um desenho/identificação (aqui iremos descrever cada subcurva e suas extremidades para que o desenho fique claro).
Condições dadas: a curva inteira deve ficar no primeiro quadrante e ser fechada; podemos usar segmentos de reta para ligar pedaços de cônicas.
Passo 2
Antes de montar a curva, vamos revisar como parametrizar cada tipo de cônica (aulas pequenas e concretas, sem pular passos).
Elipse (forma canônica e parametrização):
- Equação implícita padrão centrada em
onde
a
percorre toda a elipse). A razão:
garante que os pontos satisfazem a equação implícita. Cada valor de
dá um ponto; extremos de
e
dão os vértices da elipse.
Circunferência (caso especial da elipse):
- Equação:
, com centro e raio . - Parametrização:
ou qualquer reparametrização trigonométrica equivalente (por exemplo, trocar
com deslocamento de ângulo). De novo,
em um intervalo especifica o arco.
Parábola (forma canônica e parametrização simples):
- Forma canônica vertical:
. Aqui é o vértice e controla a abertura (se , abre para cima; , abre para baixo). - Parametrização simples usando
como parâmetro:
com
é a abscissa.
Segmento de reta (parametrização prática):
- Dado segmento entre
e , parametrizamos por :
Assim em
e em
obtemos
.]
Passo 3
Escolha da construção (estratégia prática): para garantir curvas simples, fechadas e no primeiro quadrante, vamos construir uma peça contínua com 6 subcurvas na ordem (percorrendo no sentido horário):
- Elipse (arco) ligando o ponto
ao ponto . - Circunferência (arco) ligando
a . - Parábola ligando
a . - Segmento horizontal ligando
a . - Segmento vertical ligando
a .
Dessa forma fechamos o contorno. As três cônicas distintas exigidas são: elipse, circunferência e parábola. Todos os pontos têm coordenadas positivas (primeiro quadrante). Agora vamos dar equações paramétricas para cada peça, escolhendo parâmetros de modo simples (intervalos dea ou de a , etc.).
Passo 4
Definição e justificativa da elipse escolhida:
- Queremos uma elipse que passe por
Verificação das extremidades:
- Em
então
— ponto . - Em
: então — ponto .
Comentário rápido: essa parametrização é igual a tomar a parametrização clássicacom uma troca ; é apenas uma escolha para ter crescendo de a no sentido que desejamos.]
Passo 5
Definição e justificativa da circunferência escolhida:
- Tomamos a circunferência de centro
Verificação das extremidades:
- Em
então
— ponto . - Em
: então — ponto .
Observação: isto é apenas uma reparametrização da forma clássica, trocando por .]
Passo 6
Definição e justificativa da parábola escolhida:
- Tomamos como modelo a parábola com vértice em
- Impondo que em
temos : ⇒ . Logo a parábola é . - Parametrização simples usando
como abscissa:
Verificação:
- Em
que é
(vértice). - Em
: que é .
Comentário: esta é a forma direta de parametrizar uma parábola vertical (usar a própriacomo parâmetro é prático quando queremos um intervalo de específico).]
Passo 7
Parametrização dos segmentos de reta que fecham a curva:
- Segmento horizontal
Verificação:
.
- Segmento vertical
de até . Parametrizamos por :
Verificação:
.]
Passo 8
Verificações das interseções e da propriedade “primeiro quadrante”:
- Interseção entre elipse e circunferência: ambos foram desenhados para se encontrarem exatamente em
. Verificação rápida por substituição: - Elipse em
: . - Circunferência em
: .
Logo ponto comum.
- Elipse em
- Interseção entre circunferência e parábola: ambos têm o ponto
: - Circunferência em
: . - Parábola em
: .
Logo ponto comum.
- Circunferência em
- Interseção entre parábola e segmento horizontal: parábola em
dá , que é o início do segmento . - Interseção entre segmento horizontal e segmento vertical: em
. - Interseção entre segmento vertical e elipse: em
. - Não há outras interseções inesperadas: todos os pedaços ocupam regiões distintas ou se tocam apenas nos pontos indicados. E todas as coordenadas listadas têm
e (primeiro quadrante).
Passo 9
Resumo geométrico (como desenhar e identificar no croqui):
- Comece em
. Desenhe o arco de elipse parametrizado por até . - Do ponto
desenhe o arco de circunferência parametrizado por até . - Do ponto
siga a parábola parametrizada por até . - Do ponto
trace o segmento horizontal até usando . - Do ponto
trace o segmento vertical até usando . A curva está fechada.
Dica para o desenho: marque os pontose identifique cada arco/segmento com sua letra; cada parâmetro foi escolhido para que em suas extremidades o valor do parâmetro seja exatamente ou (ou e ), facilitando o traço e a conferência.
Resposta
Elipse (arco de
Circunferência (arco de
), centro
, raio
:
Parábola (de
), vértice em
, equação
:
Segmento horizontal (de
):
Segmento vertical (de
):
Pontos de interseção (extremidades comuns):