Exercício 18. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
(a) Esta matriz é diagonalizável? Justifique sua resposta.
(b) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autoespaços de A.
(c) Obtenha uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1} A P=D.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e faz três pedidos:
  1. (a) Determinar se a matriz é diagonalizável e justificar.
  2. (b) Calcular o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autoespaços.
  3. (c) Obter uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1}AP=D.
Dados relevantes fornecidos: a própria matriz A (já escrita acima).
Não há outras informações ou figuras. A resolução começará agora.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} -\lambda & -1 & 1\\[4pt] -1 & -\lambda & 1\\[4pt] 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Para determinantes 3\times3 eu uso a expansão direta (regra de Sarrus ou expansão por cofatores). Faço a expansão pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1 = \lambda^2-1,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix}=(-1)(-\lambda)-1\cdot1=\lambda-1,
\det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-(-\lambda)\cdot1=-1+\lambda=\lambda-1.
Substituo de volta:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(\lambda^2-1)+(\lambda-1)+(\lambda-1)=-\lambda^3+\lambda+2\lambda-2.
Ou seja
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+3\lambda-2.
Multiplicando por -1 para ter polinômio com coeficiente líder positivo, obtemos
p(\lambda)=\lambda^3-3\lambda+2.]

Passo 3

Agora fatoro p(\lambda)=\lambda^3-3\lambda+2. Testo raízes inteiras pequenas: para \lambda=1,
1^3-3\cdot1+2=1-3+2=0,
logo \lambda=1 é raiz. Faço a divisão polinomial por (\lambda-1). A divisão dá o quociente
\lambda^2+\lambda-2.
Esse quadrático fatora:
\lambda^2+\lambda-2=(\lambda+2)(\lambda-1).
Portanto
p(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+2).
Os autovalores (raízes) são:
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2),\qquad \lambda=-2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Agora calculo o autoespaço associado a \lambda=1. Resolvo (A-I)v=0. Escrevo:
A-I=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Faço eliminação por linhas: R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+R_1, obtendo
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Da primeira linha vem a equação
- x - y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z=x+y.
Logo os vetores próprios para \lambda=1 têm a forma
(x,y,z)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Um conjunto de base para o autoespaço \mathcal{E}_1 é, por exemplo,
\{(1,0,1),\\ (0,1,1)\}.
Notei aqui que o autoespaço tem dimensão 2, que coincide com a multiplicidade algébrica 2 de \lambda=1.]

Passo 5

Agora calculo o autoespaço associado a \lambda=-2\). Resolvo \((A+2I)v=0\). Escrevo: \[A+2I=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Escrevo as equações:
\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\[4pt] - x + 2y + z = 0,\\[4pt] x + y + 2z = 0. \end{cases}
Faço (1) - (2)\] para eliminar \(z:
(2x - y + z) - (-x + 2y + z) = 3x - 3y = 0 \;\Longrightarrow\; x=y.
Substituindo y=x em (1):
2x - x + z =0 \;\Longrightarrow\; x+z=0 \;\Longrightarrow\; z=-x.
Logo os vetores próprios para \lambda=-2 têm a forma
(x,x,-x)=x(1,1,-1).
Uma base para o autoespaço \mathcal{E}_{-2} é
\{(1,1,-1)\},
de dimensão 1, que coincide com a multiplicidade algébrica de \lambda=-2.]

Passo 6

Agora verifico a diagonalizabilidade. Critério usado (explicação didática): uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} se existir uma base do espaço formado por vetores próprios — isto equivale a que a soma das dimensões dos autoespaços seja n. Aqui temos dimensões 2 (para \lambda=1) e 1 (para \lambda=-2), soma 2+1=3, que é o tamanho da matriz. Portanto existem 3 vetores próprios linearmente independentes e A é diagonalizável. (Comentário prático: como A é simétrica, isso já garantiria diagonalização ortogonal, mas aqui confirmamos explicitamente contando dimensões dos autoespaços.)

Passo 7

Construo a matriz P cujas colunas são vetores próprios escolhidos (cada coluna é um autovetor) e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas. Escolho como colunas os vetores obtidos:
v_1=(1,0,1),\quad v_2=(0,1,1)\quad\text{(autovalor }1),
v_3=(1,1,-1)\quad\text{(autovalor }-2).
Defino
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Verifico rapidamente que cada coluna satisfaz A v_i=\lambda_i v_i:
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Isto implica AP=PD. Como as colunas de P são linearmente independentes (posso verificar \det P=-3\neq0), P é invertível. Então
P^{-1}AP=D,
como pedido. Assim P e D acima resolvem (c).]

Resposta

(a) Sim, A é diagonalizável.
(b) Polinômio característico p(\lambda)=\lambda^{3}-3\lambda+2=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2). Autovalores: \lambda=1 (mult. alg. 2), \lambda=-2 (mult. alg. 1). Autoespaços: para \lambda=1, \mathcal{E}_1=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}; para \lambda=-2, \mathcal{E}_{-2}=\operatorname{span}\{(1,1,-1)\}.
(c) Uma escolha é
P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & -2\end{pmatrix},
pois P é invertível ( \det P=-3) e P^{-1}AP=D.]

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