(a) Esta matriz é diagonalizável? Justifique sua resposta.
(b) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autoespaços de A.
(c) Obtenha uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1} A P=D.
2x - x + z =0 \;\Longrightarrow\; x+z=0 \;\Longrightarrow\; z=-x.
Logo os vetores próprios para \lambda=-2 têm a forma
(x,x,-x)=x(1,1,-1).
Uma base para o autoespaço \mathcal{E}_{-2} é
\{(1,1,-1)\},
de dimensão 1, que coincide com a multiplicidade algébrica de \lambda=-2.]
Passo 6
Agora verifico a diagonalizabilidade. Critério usado (explicação didática): uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} se existir uma base do espaço formado por vetores próprios — isto equivale a que a soma das dimensões dos autoespaços seja n. Aqui temos dimensões 2 (para \lambda=1) e 1 (para \lambda=-2), soma 2+1=3, que é o tamanho da matriz. Portanto existem 3 vetores próprios linearmente independentes e A é diagonalizável. (Comentário prático: como A é simétrica, isso já garantiria diagonalização ortogonal, mas aqui confirmamos explicitamente contando dimensões dos autoespaços.)
Passo 7
Construo a matriz P cujas colunas são vetores próprios escolhidos (cada coluna é um autovetor) e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas. Escolho como colunas os vetores obtidos:
Isto implica AP=PD. Como as colunas de P são linearmente independentes (posso verificar \det P=-3\neq0), P é invertível. Então
P^{-1}AP=D,
como pedido. Assim P e D acima resolvem (c).]
Resposta
(a) Sim, A é diagonalizável.
(b) Polinômio característico p(\lambda)=\lambda^{3}-3\lambda+2=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2). Autovalores: \lambda=1 (mult. alg. 2), \lambda=-2 (mult. alg. 1). Autoespaços: para \lambda=1, \mathcal{E}_1=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}; para \lambda=-2, \mathcal{E}_{-2}=\operatorname{span}\{(1,1,-1)\}.
(c) Uma escolha é