Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por
T(x, y, z)=(x+y+3 z,-2 y+z, z) .
a) ( 0,5 ponto) Determine a dimensão do nủcleo e da imagem da transformaçāo.
b) (0,75 ponto) Se possivel, encontre o operador inverso de T.
c) ( 0,5 ponto) Sejam as bases B=\{(1,2,0),(0,0,-3),(0,2,1)\} do \mathbb{R}^{3} e B^{\prime} base canõnica do \mathbb{R}^{3}. Ache a matriz da transformaçāo linear T da base B para B^{\prime}, denotada por [T]_{B^{\prime}}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y+3z,\;-2y+z,\;z).
Perguntas:
\text{(a) Determine }\dim\ker(T)\text{ e }\dim\operatorname{Im}(T).
\text{(b) Se possível, encontre }T^{-1}.í
\text{\text{(c)} Dada a base }B=\{(1,2,0),(0,0,-3),(0,2,1)\}\text{ e }B'\text{ a base canônica, ache }[T]_{B'}^{B}.ô
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de T e a base B. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Primeiro construímos a matriz de T na base canônica (colunas são as imagens dos vetores canônicos (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)). Calculamos:
T(1,0,0) = (1,0,0),\qquad T(0,1,0) = (1,-2,0),\qquad T(0,0,1) = (3,1,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: cada coluna é o vetor coordenadas da imagem do correspondente vetor canônico; por exemplo a primeira coluna é T(1,0,0)=(1,0,0).]

Passo 3

Vamos determinar o posto de A (dimensão da imagem). Uma forma direta quando a matriz é triangular é olhar os elementos na diagonal principal: aqui são \,1,\,-2,\,1, todos diferentes de zero. O determinante de A é o produto das entradas da diagonal:
\det(A) = 1\cdot(-2)\cdot 1 = -2 \neq 0.
Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e tem posto máximo. Logo
\operatorname{rank}(A)=3.
Pela definição, \dim\operatorname{Im}(T)=\operatorname{rank}(A)=3. Pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade, rank-nullity) em \mathbb{R}^3,
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=3.
Substituindo \dim\operatorname{Im}(T)=3 obtemos
\dim\ker(T)=3-3=0.
Interpretação: núcleo trivial (apenas o vetor nulo), imagem é todo \mathbb{R}^3.

Passo 4

Como \det(A)\neq 0\) e \(\dim\ker(T)=0\), \(T\) é bijetora e, portanto, inversível. Para achar \(T^{-1}\) é prático resolver o sistema linear \[T(x,y,z)=(u,v,w),
isto é o sistema
\begin{cases} u = x + y + 3z,\\[4pt] v = -2y + z,\\[4pt] w = z. \end{cases}
Solução passo a passo (resolvendo de baixo para cima, porque o sistema é triangular):
  • Da terceira equação temos diretamente \,z=w.\] - Substituindo em \(v=-2y+z -2y = v - z = v - w, hence
y = \frac{w-v}{2}.
  • Substituindo y e z na primeira equação u = x + y + 3z e isolando x:
x = u - y - 3z = u - \frac{w-v}{2} - 3w.
Agora simplificamos o termo em w:
-\frac{w-v}{2} - 3w = -\frac{w}{2} + \frac{v}{2} - 3w = \frac{v}{2} - \frac{7w}{2}.
Portanto
x = u + \frac{v}{2} - \frac{7w}{2}.]

Passo 5

Escrevendo o operador inverso explicitamente (substituindo (u,v,w) por coordenadas de um vetor qualquer (x,y,z) de entrada para T^{-1}, renomeando as variáveis de entrada do inverso como (u,v,w) é conveniente), obtemos:
T^{-1}(u,v,w) = \left(u + \frac{v-7w}{2},\;\frac{w-v}{2},\;w\right).
Teste rápido (verificação): substituir estas expressões em T devolve (u,v,w) — a verificação foi feita na dedução (sistema triangular). A matriz inversa A^{-1} (na base canônica) correspondente a esse operador é obtida escrevendo as imagens de (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) por T^{-1}:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{7}{2}\\[6pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos [T]_{B'}^{B}, a matriz de T da base B para a base canônica B'. Para isso aplicamos T aos vetores de B e expressamos os resultados nas coordenadas canônicas (ou seja, simplesmente escrevemos os vetores obtidos):
  • Para b_1=(1,2,0):
T(1,2,0) = (1+2+0,\;-2\cdot 2 + 0,\;0) = (3,-4,0).
  • Para b_2=(0,0,-3):
T(0,0,-3) = (0+0+3\cdot(-3),\;-2\cdot 0 + (-3),\;-3) = (-9,-3,-3).
  • Para b_3=(0,2,1):
T(0,2,1) = (0+2+3\cdot 1,\;-2\cdot 2 + 1,\;1) = (5,-3,1).
A matriz [T]_{B'}^{B} tem essas imagens como colunas, então
[T]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} 3 & -9 & 5\\[4pt] -4 & -3 & -3\\[4pt] 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta: a matriz de T da base B para B' é a matriz cujas colunas são T(b_1),T(b_2),T(b_3) em coordenadas de B' (a base canônica).]

Resposta

(a) \dim\ker(T)=0,\;\dim\operatorname{Im}(T)=3.
(b) \displaystyle T^{-1}(u,v,w)=\left(u+\frac{v-7w}{2},\;\frac{w-v}{2},\;w\right) e \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{7}{2}\\[6pt]0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle [T]_{B'}^{B}=\begin{pmatrix}3 & -9 & 5\\[4pt]-4 & -3 & -3\\[4pt]0 & -3 & 1\end{pmatrix}.]

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