Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por
T(x, y, z)=(x+y+3 z,-2 y+z, z) .
a) ( 0,5 ponto) Determine a dimensão do nủcleo e da imagem da transformaçāo.
b) (0,75 ponto) Se possivel, encontre o operador inverso de T.
c) ( 0,5 ponto) Sejam as bases B=\{(1,2,0),(0,0,-3),(0,2,1)\} do \mathbb{R}^{3} e B^{\prime} base canõnica do \mathbb{R}^{3}. Ache a matriz da transformaçāo linear T da base B para B^{\prime}, denotada por [T]_{B^{\prime}}^{B}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y+3z,\;-2y+z,\;z).
Perguntas:
\text{(a) Determine }\dim\ker(T)\text{ e }\dim\operatorname{Im}(T).
\text{(b) Se possível, encontre }T^{-1}.
\text{\text{(c)} Dada a base }B=\{(1,2,0),(0,0,-3),(0,2,1)\}\text{ e }B'\text{ a base canônica, ache }[T]_{B'}^{B}.
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de T e a base B. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Primeiro construímos a matriz de T na base canônica (colunas são as imagens dos vetores canônicos (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)). Calculamos:
Explicação rápida: cada coluna é o vetor coordenadas da imagem do correspondente vetor canônico; por exemplo a primeira coluna é T(1,0,0)=(1,0,0).]
Passo 3
Vamos determinar o posto de A (dimensão da imagem). Uma forma direta quando a matriz é triangular é olhar os elementos na diagonal principal: aqui são \,1,\,-2,\,1, todos diferentes de zero. O determinante de A é o produto das entradas da diagonal:
\det(A) = 1\cdot(-2)\cdot 1 = -2 \neq 0.
Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e tem posto máximo. Logo
\operatorname{rank}(A)=3.
Pela definição, \dim\operatorname{Im}(T)=\operatorname{rank}(A)=3. Pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade, rank-nullity) em \mathbb{R}^3,
\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=3.
Substituindo \dim\operatorname{Im}(T)=3 obtemos
\dim\ker(T)=3-3=0.
Interpretação: núcleo trivial (apenas o vetor nulo), imagem é todo \mathbb{R}^3.
Passo 4
Como \det(A)\neq 0\) e \(\dim\ker(T)=0\), \(T\) é bijetora e, portanto, inversível. Para achar \(T^{-1}\) é prático resolver o sistema linear
\[T(x,y,z)=(u,v,w),
isto é o sistema
\begin{cases} u = x + y + 3z,\\[4pt] v = -2y + z,\\[4pt] w = z. \end{cases}
Solução passo a passo (resolvendo de baixo para cima, porque o sistema é triangular):
Da terceira equação temos diretamente \,z=w.\]
- Substituindo em \(v=-2y+z dá -2y = v - z = v - w, hence
y = \frac{w-v}{2}.
Substituindo y e z na primeira equação u = x + y + 3z e isolando x:
Escrevendo o operador inverso explicitamente (substituindo (u,v,w) por coordenadas de um vetor qualquer (x,y,z) de entrada para T^{-1}, renomeando as variáveis de entrada do inverso como (u,v,w) é conveniente), obtemos:
Teste rápido (verificação): substituir estas expressões em T devolve (u,v,w) — a verificação foi feita na dedução (sistema triangular). A matriz inversa A^{-1} (na base canônica) correspondente a esse operador é obtida escrevendo as imagens de (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) por T^{-1}:
Agora calculamos [T]_{B'}^{B}, a matriz de T da base B para a base canônica B'. Para isso aplicamos T aos vetores de B e expressamos os resultados nas coordenadas canônicas (ou seja, simplesmente escrevemos os vetores obtidos):