Calcule o volume do sólido obtido da revolução em torno do eixo x da região R delimitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
delimitada por
,
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- duas curvas:
(reta) e (raiz quadrada); - duas retas verticais de fechamento:
e ; - o eixo de revolução é o eixo
.\n
O que se pede: o volume do sólido de revolução gerado por essa região.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): como estamos girando em torno do eixo
e as fronteiras são dadas por funções
, a maneira mais direta é usar o método dos discos/aros (washers).\n
Fórmula que vamos usar (é muito importante saber e entender):
onde:
-
é o raio externo (a função que está mais distante do eixo , isto é, o valor máximo de na seção vertical em ); -
é o raio interno (a função que está mais próxima do eixo , isto é, o valor mínimo de na seção vertical em ); -
e são os limites em do domínio da região.\n
Antes de aplicar, precisamos saber em que intervalos cada curva é a superior (maior) e qual é a inferior — isto porque elas se cruzam dentro de e então teremos que dividir a integral.
Passo 3
Achar o ponto de interseção entre as curvas
e
. Igualamos as duas expressões:
Resolve passo a passo: coloque
(com
), então
. Rearranjando:
Resolve a quadrática (fatorando):
, as raízes são
e
. Como
, descartamos
e ficamos com
. Voltando para
:
No ponto de interseção temos
e
.
Passo 4
Determinar qual curva é superior (maior
) em cada subintervalo de
separado pelo ponto de interseção
. Faça avaliações simples:
- em
: , . Então em a reta está acima da raiz; - em
: , . Então em a raiz está acima da reta.\n
Conclusão: nas seções verticais - para
: e ; - para
: e .\n
Portanto precisamos dividir a integral em duas partes: dea e de a .
Passo 5
Montar a integral do volume usando a fórmula dos washers, dividindo em dois intervalos:
Aqui usei diretamente
em cada intervalo conforme justificado no passo anterior.
Passo 6
Simplificar as expressões integrandas para facilitar a integração. Observe que
e
. Substituindo:
Então a integral fica
Passo 7
Calcular a primeira integral
.\n
Ache a primitiva termo a termo:
Ache a primitiva termo a termo:
Portanto a primitiva é
. Avaliando de
a
:
Fazendo conta com denominador comum
:
,
,
. Então
Passo 8
Calcular a segunda integral
.\n
Primitiva termo a termo:
Primitiva termo a termo:
Primitiva:
. Avaliando de
a
:
Calcule em
:
Calcule em :
Subtraia:
Calcule em
Subtraia:
Passo 9
Somar as duas integrais e multiplicar por
:
Logo
Boa! O resultado é simples e razoável — sempre bom checar sinais e onde dividir a integral como fizemos.