Calcule o volume do sólido obtido da revolução em torno do eixo x da região R delimitada por y= 2-x, y=\sqrt{x}, x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R delimitada por y=2-x, y=\sqrt{x}, x=0 e x=2.\n
Informações dadas:
  • duas curvas: y=2-x (reta) e y=\sqrt{x} (raiz quadrada);
  • duas retas verticais de fechamento: x=0 e x=2;
  • o eixo de revolução é o eixo x.\n
    O que se pede: o volume do sólido de revolução gerado por essa região.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): como estamos girando em torno do eixo x e as fronteiras são dadas por funções y=f(x), a maneira mais direta é usar o método dos discos/aros (washers).\n
Fórmula que vamos usar (é muito importante saber e entender): V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde:
  • R(x) é o raio externo (a função que está mais distante do eixo x, isto é, o valor máximo de y na seção vertical em x);
  • r(x) é o raio interno (a função que está mais próxima do eixo x, isto é, o valor mínimo de y na seção vertical em x);
  • a e b são os limites em x do domínio da região.\n
    Antes de aplicar, precisamos saber em que intervalos cada curva é a superior (maior y) e qual é a inferior — isto porque elas se cruzam dentro de [0,2] e então teremos que dividir a integral.

Passo 3

Achar o ponto de interseção entre as curvas y=2-x e y=\sqrt{x}. Igualamos as duas expressões: \sqrt{x}=2-x.
Resolve passo a passo: coloque t=\sqrt{x} (com t\ge 0), então t=2-t^2. Rearranjando: t^2+t-2=0.
Resolve a quadrática (fatorando): (t-1)(t+2)=0, as raízes são t=1 e t=-2. Como t=\sqrt{x}\ge0, descartamos t=-2 e ficamos com t=1. Voltando para x: \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1.
No ponto de interseção temos x=1 e y=1.

Passo 4

Determinar qual curva é superior (maior y) em cada subintervalo de x separado pelo ponto de interseção x=1. Faça avaliações simples:
  • em x=0: y_{reta}=2-0=2, y_{raiz}=\sqrt{0}=0. Então em x=0 a reta está acima da raiz;
  • em x=2: y_{reta}=2-2=0, y_{raiz}=\sqrt{2}\approx1{,}414. Então em x=2 a raiz está acima da reta.\n
    Conclusão: nas seções verticais
  • para 0\le x\le 1: y_{\text{superior}}=2-x e y_{\text{inferior}}=\sqrt{x};
  • para 1\le x\le 2: y_{\text{superior}}=\sqrt{x} e y_{\text{inferior}}=2-x.\n
    Portanto precisamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 2.

Passo 5

Montar a integral do volume usando a fórmula dos washers, dividindo em dois intervalos: V=\pi\left(\int_{0}^{1}\big((2-x)^2-(\sqrt{x})^2\big)\,dx \;+\; \int_{1}^{2}\big((\sqrt{x})^2-(2-x)^2\big)\,dx\right).
Aqui usei diretamente R(x)^2-r(x)^2 em cada intervalo conforme justificado no passo anterior.

Passo 6

Simplificar as expressões integrandas para facilitar a integração. Observe que (\sqrt{x})^2=x e (2-x)^2=4-4x+x^2. Substituindo: \text{para }0\le x\le1:\quad (2-x)^2-(\sqrt{x})^2=4-4x+x^2-x=4-5x+x^2,
\text{para }1\le x\le2:\quad (\sqrt{x})^2-(2-x)^2=x-(4-4x+x^2)=-4+5x-x^2.
Então a integral fica V=\pi\left(\int_{0}^{1}(4-5x+x^2)\,dx+\int_{1}^{2}(-4+5x-x^2)\,dx\right).

Passo 7

Calcular a primeira integral \displaystyle I_1=\int_{0}^{1}(4-5x+x^2)\,dx.\n
Ache a primitiva termo a termo:
\int 4\,dx=4x,\qquad \int -5x\,dx=-\tfrac{5}{2}x^2,\qquad \int x^2\,dx=\tfrac{1}{3}x^3.
Portanto a primitiva é \;4x-\tfrac{5}{2}x^2+\tfrac{1}{3}x^3\;. Avaliando de 0 a 1: I_1=\Big[4x-\tfrac{5}{2}x^2+\tfrac{1}{3}x^3\Big]_{0}^{1}=4-\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{3}.
Fazendo conta com denominador comum 6: 4=\tfrac{24}{6}, \tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{6}, \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{6}. Então I_1=\tfrac{24-15+2}{6}=\tfrac{11}{6}.

Passo 8

Calcular a segunda integral \displaystyle I_2=\int_{1}^{2}(-4+5x-x^2)\,dx.\n
Primitiva termo a termo:
\int -4\,dx=-4x,\qquad \int 5x\,dx=\tfrac{5}{2}x^2,\qquad \int -x^2\,dx=-\tfrac{1}{3}x^3.
Primitiva: -4x+\tfrac{5}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3. Avaliando de 1 a 2:
I_2=\Big[-4x+\tfrac{5}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3\Big]_{1}^{2}.
Calcule em x=2: -8+\tfrac{5}{2}\cdot4-\tfrac{1}{3}\cdot8=-8+10-\tfrac{8}{3}=2-\tfrac{8}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Calcule em x=1: -4+\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{3}=-4+\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{11}{6}.
Subtraia: I_2=(-\tfrac{2}{3})-(-\tfrac{11}{6})=-\tfrac{2}{3}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{7}{6}.

Passo 9

Somar as duas integrais e multiplicar por \pi: I_1+I_2=\tfrac{11}{6}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{18}{6}=3.
Logo V=\pi\cdot 3=3\pi.
Boa! O resultado é simples e razoável — sempre bom checar sinais e onde dividir a integral como fizemos.

Resposta

3\pi

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