\text{a função é }f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)\operatorname{sen}\frac{1}{xy},
e o ponto de interesse é (x,y)=(0,0). Não há restrições extras no enunciado (exceto que \frac{1}{xy} não está definido quando x=0 ou y=0, mas o limite considera aproximações por valores com x\neq0 e y\neq0).
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil sobre a função seno: para todo número real t vale
-1 \le \operatorname{sen} t \le 1.
Isto quer dizer que a função \operatorname{sen}(\cdot) é limitada — nunca passa de 1 nem de -1. Esse fato é simples e conhecido (gráfico do seno, série de Taylor, ou identidade trigonométrica), e é justamente o que vamos usar para controlar o comportamento de f(x,y).
Passo 3
A partir da desigualdade do seno, para qualquer (x,y) com x\neq0 e y\neq0 temos, em valor absoluto,
Ou seja, o valor absoluto da nossa função f(x,y) é sempre menor ou igual a x^{2}+y^{2}.
Passo 4
Agora examinamos o comportamento do lado direito quando (x,y)\to(0,0). Como x\to0 implica x^{2}\to0 e y\to0 implica y^{2}\to0, a soma também tende a zero. Formalmente,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=0.
Uma forma intuitiva: se \sqrt{x^{2}+y^{2}} \to 0 (distância ao ponto (0,0) tende a zero), então \,x^{2}+y^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}\to0.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche) para limites em várias variáveis. Temos, para (x,y) próximos de (0,0),
e já vimos que os limites do lado esquerdo e do lado direito, quando (x,y)\to(0,0), são ambos iguais a 0. Pelo Teorema do Confronto, o limite da função do meio existe e é igual ao mesmo valor que os outros dois limites.
Passo 6
Portanto, pelo passo anterior, concluímos que o limite pedido coincide com o limite de \,x^{2}+y^{2} quando (x,y)\to(0,0), que é zero.