Para apresentar um trabalho, um professor sorteará ao acaso um aluno, entre os 30 da turma. O sorteio será feito de acordo com o número da chamada. Qual é a probabilidade de o número do aluno sorteado ser:
primo ou maior que 10 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o número sorteado (entre os 30 números de chamada: 1,2,\dots,30) seja "primo ou maior que 10".
Informações dadas e o que se pede:
  • 30 alunos numerados de 1 a 30.
  • O sorteio é ao acaso, então todos os números 1 a 30 são igualmente prováveis.
  • Pergunta: qual a probabilidade de o número sorteado satisfazer a propriedade “ser primo” ou "ser maior que 10" (ou ambos)?

Passo 2

Modelo de probabilidade e estratégia de contagem:
Como todos os 30 números são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{30}.ºá
Para o evento "primo ou maior que 10" vamos usar a fórmula da união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
onde A = “número é primo” e B = "número é maior que 10". Vou contar quantos elementos estão em A, em B e em A\cap B.

Passo 3

Definição útil e cuidado: o número 1 não é primo. Um número primo é um inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores positivos ( 1 e ele mesmo). Vou listar e contar os primos em 1,2,\dots,30.

Passo 4

Listagem dos primos entre 1 e 30:
Os primos são
2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29.
Contando-os, temos |A|=10 (ou seja, há 10 números primos no intervalo).

Passo 5

Contagem dos números maiores que 10:
Números maiores que 10 entre 1 e 30 são 11,12,\dots,30. O total é
|B|=30-10=20.

Passo 6

Contagem da interseção A\cap B (primos que são também maiores que 10):
Dos primos listados no Passo 4, os que são maiores que 10 são
11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29.
Então |A\cap B|=6.

Passo 7

Aplicando a fórmula da união em termos de contagem de resultados favoráveis:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 10 + 20 - 6 = 24.
Ou seja, há 24 números entre 1 e 30 que são primos ou maiores que 10.

Passo 8

Finalmente, a probabilidade pedida é
P(A\cup B)=\frac{|A\cup B|}{30}=\frac{24}{30}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 6, obtemos
\frac{24}{30}=\frac{4}{5}.

Resposta

\frac{4}{5}

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