Para apresentar um trabalho, um professor sorteará ao acaso um aluno, entre os 30 da turma. O sorteio será feito de acordo com o número da chamada. Qual é a probabilidade de o número do aluno sorteado ser:
primo ou maior que 10 ?
primo ou maior que 10 ?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que o número sorteado (entre os
números de chamada:
) seja "primo ou maior que
".
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Há
alunos numerados de a . - O sorteio é ao acaso, então todos os números
a são igualmente prováveis. - Pergunta: qual a probabilidade de o número sorteado satisfazer a propriedade “ser primo” ou "ser maior que
" (ou ambos)?
Passo 2
Modelo de probabilidade e estratégia de contagem:
Como todos os números são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Como todos os
Para o evento "primo ou maior que
" vamos usar a fórmula da união de dois eventos:
onde
= “número é primo” e
= "número é maior que
". Vou contar quantos elementos estão em
, em
e em
.
Passo 3
Definição útil e cuidado: o número
não é primo. Um número primo é um inteiro maior que
que tem exatamente dois divisores positivos (
e ele mesmo). Vou listar e contar os primos em
.
Passo 4
Listagem dos primos entre
e
:
Os primos são
Os primos são
Contando-os, temos
(ou seja, há
números primos no intervalo).
Passo 5
Contagem dos números maiores que
:
Números maiores que entre
e
são
. O total é
Números maiores que
Passo 6
Contagem da interseção
(primos que são também maiores que
):
Dos primos listados no Passo 4, os que são maiores que são
Dos primos listados no Passo 4, os que são maiores que
Então
.
Passo 7
Aplicando a fórmula da união em termos de contagem de resultados favoráveis:
Ou seja, há
números entre
e
que são primos ou maiores que
.
Passo 8
Finalmente, a probabilidade pedida é
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
, obtemos