Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Sejam os eventos:
- A: a soma dos pontos obtidos é 10 ;
- B: os números obtidos são distintos.
Calcule
.
Passo 1
O enunciado diz: um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Foram definidos os eventos:
-
: a soma dos pontos obtidos é . -
: os números obtidos são distintos.
A pergunta é: calcular
, isto é, a probabilidade de ocorrer
ou
(ou ambos).
Informações importantes que recebemos e que vamos usar sem provar: cada lançamento do dado tem resultados possíveis
, e como os lançamentos são sucessivos e assumimos que o dado é justo, o espaço amostral de pares ordenados é
Informações importantes que recebemos e que vamos usar sem provar: cada lançamento do dado tem
logo há
resultados igualmente prováveis.
Passo 2
Vou explicar o modelo de probabilidade que usaremos. Como os
pares ordenados
são igualmente prováveis, a probabilidade de qualquer evento
será dada por
Aqui
significa a probabilidade do evento
. Esta é a regra básica de contagem para experimentos com resultados igualmente prováveis.
Passo 3
Para eventos
e
vale a fórmula da união:
Explicando cada termo:
é a probabilidade de
acontecer,
a de
acontecer, e
é a probabilidade de os dois acontecerem ao mesmo tempo. Subtraímos
porque ao somar
contamos duas vezes os resultados que pertencem a ambos os eventos.
Passo 4
Calcular
: preciso contar os pares
tais que
. Vou listar todos os pares ordenados com soma
:
Não há outros pares com soma
dentro de
. Logo há
resultados favoráveis a
. Portanto
Breve comentário didático: para somas específicas em dois dados, normalmente contamos combinações ordenadas que dão essa soma — aqui são apenas três.
Passo 5
Calcular
:
é o evento “os números obtidos são distintos”, isto é,
. No espaço de
pares, os pares em que
são
ou seja,
pares. Portanto os pares com
são
. Assim
Comentário: é mais rápido contar o complementar (iguais) e subtrair de
.
Passo 6
Calcular
: são os resultados que satisfazem simultaneamente soma
e números distintos. Da lista de
em Passo 4, temos
. Destes,
tem números iguais, então não pertence a
. Restam
ou seja,
resultados favoráveis. Logo
Passo 7
Agora aplico a fórmula da união (Passo 3) usando os valores encontrados:
Faço as frações com denominador comum
:
Somando/subtraindo:
Passo 8
Interpretação rápida: a probabilidade de ocorrer soma
ou que os dois resultados sejam distintos é bastante alta —
. Em decimal isso é aproximadamente
. Se for útil na prova, lembre-se do método: listar casos favoráveis para eventos pequenos (como soma fixa) e usar complemento para eventos do tipo “distintos” ou “iguais”.