Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Sejam os eventos:
  • A: a soma dos pontos obtidos é 10 ;
  • B: os números obtidos são distintos.
Calcule P(A \cup B).

Passo 1

O enunciado diz: um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Foram definidos os eventos:
  • A: a soma dos pontos obtidos é 10.
  • B: os números obtidos são distintos.
A pergunta é: calcular P(A \cup B), isto é, a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
Informações importantes que recebemos e que vamos usar sem provar: cada lançamento do dado tem 6 resultados possíveis \{1,2,3,4,5,6\}, e como os lançamentos são sucessivos e assumimos que o dado é justo, o espaço amostral de pares ordenados é
\{(i,j)\mid i=1,\dots,6,\; j=1,\dots,6\},
logo há 36 resultados igualmente prováveis.

Passo 2

Vou explicar o modelo de probabilidade que usaremos. Como os 36 pares ordenados (i,j) são igualmente prováveis, a probabilidade de qualquer evento E será dada por
P(E)=\frac{\text{nº de resultados favoráveis a }E}{36}.ºá
Aqui P(E) significa a probabilidade do evento E. Esta é a regra básica de contagem para experimentos com resultados igualmente prováveis.

Passo 3

Para eventos A e B vale a fórmula da união:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicando cada termo: P(A) é a probabilidade de A acontecer, P(B) a de B acontecer, e P(A\cap B) é a probabilidade de os dois acontecerem ao mesmo tempo. Subtraímos P(A\cap B) porque ao somar P(A)+P(B) contamos duas vezes os resultados que pertencem a ambos os eventos.

Passo 4

Calcular P(A): preciso contar os pares (i,j) tais que i+j=10. Vou listar todos os pares ordenados com soma 10:
(4,6),\\ (5,5),\\ (6,4).
Não há outros pares com soma 10 dentro de \{1,\dots,6\}. Logo há 3 resultados favoráveis a A. Portanto
P(A)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.
Breve comentário didático: para somas específicas em dois dados, normalmente contamos combinações ordenadas que dão essa soma — aqui são apenas três.

Passo 5

Calcular P(B): B é o evento “os números obtidos são distintos”, isto é, i\neq j. No espaço de 36 pares, os pares em que i=j são
(1,1),\\ (2,2),\\ (3,3),\\ (4,4),\\ (5,5),\\ (6,6),
ou seja, 6 pares. Portanto os pares com i\neq j são 36-6=30. Assim
P(B)=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}.
Comentário: é mais rápido contar o complementar (iguais) e subtrair de 36.

Passo 6

Calcular P(A\cap B): são os resultados que satisfazem simultaneamente soma 10 e números distintos. Da lista de A em Passo 4, temos (4,6),\\ (5,5),\\ (6,4). Destes, (5,5) tem números iguais, então não pertence a B. Restam
(4,6),\\ (6,4),
ou seja, 2 resultados favoráveis. Logo
P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.

Passo 7

Agora aplico a fórmula da união (Passo 3) usando os valores encontrados:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{12}+\frac{5}{6}-\frac{1}{18}.
Faço as frações com denominador comum 36:
\frac{1}{12}=\frac{3}{36},\qquad \frac{5}{6}=\frac{30}{36},\qquad \frac{1}{18}=\frac{2}{36}.
Somando/subtraindo:
P(A\cup B)=\frac{3}{36}+\frac{30}{36}-\frac{2}{36}=\frac{31}{36}.

Passo 8

Interpretação rápida: a probabilidade de ocorrer soma 10 ou que os dois resultados sejam distintos é bastante alta — 31/36. Em decimal isso é aproximadamente 0,8611. Se for útil na prova, lembre-se do método: listar casos favoráveis para eventos pequenos (como soma fixa) e usar complemento para eventos do tipo “distintos” ou “iguais”.

Resposta

\dfrac{31}{36}

Exercícios relacionados