Apresente as características principais das permutações simples, circulares e com elementos repetidos.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos as características principais de três tipos de permutações: permutações simples (ou lineares), permutações circulares e permutações com elementos repetidos. O conteúdo envolvido é o princípio de contagem aplicado a arranjos, usando fatoriais para expressar o número de ordenações possíveis.

Passo 2

Permutações simples são as ordenações de todos os n elementos distintos em sequência. Aqui cada disposição é única e a posição importa. O número total de permutações simples de n objetos é dado por
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1.

Passo 3

Permutações circulares são as ordenações de n objetos distintos em torno de um círculo, onde rotações inteiras geram a mesma configuração. Para eliminar as equivalências por rotação, fixamos um elemento e permutamos os demais. O total de permutações circulares é
(n-1)!.

Passo 4

Permutações com elementos repetidos consideram n objetos em que há grupos de iguais: n_1 de um tipo, n_2 de outro, \dots, n_k de outro, com n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n. Para descontar as ordens iguais entre elementos idênticos, o total é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.

Resposta

  • Permutações simples: ordenações lineares de n elementos distintos. Total de arranjos:
    n!.
  • Permutações circulares: ordenações de n elementos distintos em um círculo, onde rotações equivalentes contam como uma só. Total de arranjos:
    (n-1)!.
  • Permutações com elementos repetidos: ordenações de n elementos em que há n_1, n_2, ···, n_k elementos idênticos em cada tipo. Total de arranjos:
    \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.

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