a) Apresente uma PG cujo primeiro termo é um número natural par de dois dígitos e cuja razão
satisfaz
e
.
b) Calcule
b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Apresentar uma progressão geométrica (PG) cuja primeiro termo é um número natural par de dois dígitos e cuja razão
satisfaça e . - (b) Calcular a soma dos
primeiros termos dessa PG, isto é .
Informações relevantes do enunciado:
deve ser um natural par com dois dígitos (ou seja,
e
par).
deve satisfazer
e ser irracional (
).
Queremos a forma da PG e o valor de .
Queremos a forma da PG e o valor de
Passo 2
Escolhendo uma PG concreta que satisfaça as condições (a escolha é livre, desde que atenda às restrições). Vou escolher o primeiro termo
que é um número natural par de dois dígitos, e a razão
Agora verifico as condições para
:
Passo 3
Verificação de
:
-
: como , temos , logo . -
: é irracional; se fosse racional então seria racional, contradição. Portanto é irracional.
Assim a escolha
e
atende ao pedido.
Passo 4
Escrevo a PG explicitamente. A fórmula geral do
-ésimo termo de uma PG é
onde
é o
-ésimo termo,
é o primeiro termo e
é a razão. Substituindo nossos valores:
Passo 5
Agora vou ensinar e usar a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma PG (isso é o que você precisa saber para provas). Para
, seja
Multiplicando por
e subtraindo:
Fatorando
e
, obtemos
logo a fórmula da soma parcial é
Aqui
é a soma dos
primeiros termos,
e
já foram definidos.
Passo 6
Aplicando para
,
e
:
Agora vamos simplificar esse valor passo a passo.
Passo 7
Cálculo de
usando regras de potência:
Como
, temos
Passo 8
Substituo essa simplificação em
:
Calculo
, então
Agora simplifico
:
Racionalizo multiplicando por
:
Portanto
Passo 9
Podemos apresentar também uma forma alternativa equivalente (mostrarei como ficou antes de fatorar):
E uma aproximação decimal (útil para conferir numericamente):
Força aí — você já tem a PG escolhida e a soma exata e aproximada; na prova use a expressão exata se pedirem forma simbólica.
Resposta
a)
, ou seja
b)
b)