a) Apresente uma PG cujo primeiro termo é um número natural par de dois dígitos e cuja razão r satisfaz 0<r<1 e r \notin \mathbb{Q}.
b) Calcule S_{10}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Apresentar uma progressão geométrica (PG) cuja primeiro termo é um número natural par de dois dígitos e cuja razão r satisfaça 0<r<1 e r\notin\mathbb{Q}.
  2. (b) Calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PG, isto é S_{10}.
Informações relevantes do enunciado:
\;a_1 deve ser um natural par com dois dígitos (ou seja, \;10\le a_1\le 99 e a_1 par).
\;r deve satisfazer 0<r<1 e ser irracional ( r\notin\mathbb{Q}).
Queremos a forma da PG e o valor de S_{10}.

Passo 2

Escolhendo uma PG concreta que satisfaça as condições (a escolha é livre, desde que atenda às restrições). Vou escolher o primeiro termo
a_1 = 12
que é um número natural par de dois dígitos, e a razão
r = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora verifico as condições para r:

Passo 3

Verificação de r:
  • 0<r<1: como \sqrt{2}\approx 1{,}4142, temos \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071, logo 0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1.
  • r\notin\mathbb{Q}: \sqrt{2} é irracional; se \frac{\sqrt{2}}{2} fosse racional então \sqrt{2}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} seria racional, contradição. Portanto \frac{\sqrt{2}}{2} é irracional.
Assim a escolha a_1=12 e r=\dfrac{\sqrt{2}}{2} atende ao pedido.

Passo 4

Escrevo a PG explicitamente. A fórmula geral do n-ésimo termo de uma PG é
a_n = a_1 r^{n-1},
onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Substituindo nossos valores:
a_n = 12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}.

Passo 5

Agora vou ensinar e usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG (isso é o que você precisa saber para provas). Para r\neq 1, seja
S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}.
Multiplicando por r e subtraindo:
rS_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n},
S_n - rS_n = a_1 - a_1 r^{n}.
Fatorando S_n(1-r) e a_1(1-r^{n}), obtemos
(1-r)S_n = a_1(1-r^{n}),
logo a fórmula da soma parcial é
S_n = a_1 \frac{1-r^{n}}{1-r}.
Aqui S_n é a soma dos n primeiros termos, a_1 e r já foram definidos.

Passo 6

Aplicando para n=10, a_1=12 e r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
S_{10} = 12\cdot\frac{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{10}}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Agora vamos simplificar esse valor passo a passo.

Passo 7

Cálculo de \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{10} usando regras de potência:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{10}=\frac{(\sqrt{2})^{10}}{2^{10}}.
Como (\sqrt{2})^{10}=(2^{1/2})^{10}=2^{5}=32, temos
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{10}=\frac{32}{2^{10}}=\frac{32}{1024}=\frac{1}{32}.

Passo 8

Substituo essa simplificação em S_{10}:
S_{10}=12\cdot\frac{1-\tfrac{1}{32}}{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Calculo 1-\tfrac{1}{32}=\tfrac{31}{32}, então
S_{10}=12\cdot\frac{\tfrac{31}{32}}{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{93}{8}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Agora simplifico \dfrac{1}{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}:
1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}.
Racionalizo multiplicando por 2+\sqrt{2}:
\frac{2}{2-\sqrt{2}}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2}=2+\sqrt{2}.
Portanto
S_{10}=\frac{93}{8}\,(2+\sqrt{2}).

Passo 9

Podemos apresentar também uma forma alternativa equivalente (mostrarei como ficou antes de fatorar):
S_{10}=\frac{31}{32}\,(24+12\sqrt{2})=\frac{93}{8}\,(2+\sqrt{2}).
E uma aproximação decimal (útil para conferir numericamente):
S_{10}\approx 39{,}690232635.
Força aí — você já tem a PG escolhida e a soma exata e aproximada; na prova use a expressão exata se pedirem forma simbólica.

Resposta

a) a_1=12,\; r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja \;a_n=12\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}.
b) S_{10}=\dfrac{93}{8}\,(2+\sqrt{2})\approx 39{,}690232635.

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