Para cada item, dê um exemplo de uma função afim
, apresentando a expressão do tipo
, dado que:
A função é crescente e a raiz é um número irracional negativo.
A função é crescente e a raiz é um número irracional negativo.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função afim do tipo
que satisfaça duas condições: a função é crescente e a raiz (ou zero) de
é um número irracional negativo. As informações relevantes dadas são: a função tem forma
com
e queremos
crescente e a solução de
deve ser um número irracional menor que zero.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma função afim e como identificar se ela é crescente.
Uma função afim tem a forma
Uma função afim tem a forma
onde
é o coeficiente angular (a inclinação) e
é o coeficiente linear (intercepto). A monotonicidade (ser crescente ou decrescente) depende somente de
:
- Se
, então é crescente. - Se
, então é decrescente.
Por que isso? Porque para quaisquertemos
Se
e
, então
, logo
— isto é a definição de crescente.
Passo 3
Agora, como encontrar a raiz (zero) de
? Resolver
dá
Aqui
é a raiz. Então a raiz será um número irracional negativo quando
for irracional e menor que zero.
Passo 4
Vamos combinar as condições:
- Queremos
crescente, logo precisamos de . - Queremos
negativo e irracional. A desigualdade é equivalente a . Como escolhemos , isso implica . Além disso precisamos que seja um número irracional positivo (assim será irracional negativo).
Passo 5
Construção prática (receita fácil de aplicar na prova): escolha qualquer
e escolha um número irracional positivo
(por exemplo
, ou
, ou
). Defina
Então a função fica
A raiz é
que é irracional e negativa porque
é irracional e positiva. E
garante que
é crescente.
Passo 6
Agora um exemplo concreto e simples (o suficiente para entregar na prova e fácil de calcular na cabeça): escolha
e
. Então
Verificação rápida:
- Coeficiente
, logo é crescente. - Raiz dada por
, que é irracional e negativa.
Passo 7
Se quiser outro exemplo equivalente, basta multiplicar por qualquer
; por exemplo
e
dá
cuja raiz também é
e a função é crescente.