Para cada item, dê um exemplo de uma função afim f, apresentando a expressão do tipo f(x)= a x+b, dado que:
A função é crescente e a raiz é um número irracional negativo.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função afim do tipo f(x)=ax+b que satisfaça duas condições: a função é crescente e a raiz (ou zero) de f é um número irracional negativo. As informações relevantes dadas são: a função tem forma f(x)=ax+b com a,b\in\mathbb{R} e queremos f crescente e a solução de f(x)=0 deve ser um número irracional menor que zero.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma função afim e como identificar se ela é crescente.
Uma função afim tem a forma
f(x)=ax+b,
onde a é o coeficiente angular (a inclinação) e b é o coeficiente linear (intercepto). A monotonicidade (ser crescente ou decrescente) depende somente de a:
  • Se \,a>0, então f é crescente.
  • Se \,a<0, então f é decrescente.
    Por que isso? Porque para quaisquer x_1<x_2 temos
f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1).
Se a>0 e x_2-x_1>0, então f(x_2)-f(x_1)>0, logo f(x_2)>f(x_1) — isto é a definição de crescente.

Passo 3

Agora, como encontrar a raiz (zero) de f? Resolver f(x)=0
ax+b=0 \quad\Longrightarrow\quad x_0=-\frac{b}{a}.
Aqui x_0 é a raiz. Então a raiz será um número irracional negativo quando -\dfrac{b}{a} for irracional e menor que zero.

Passo 4

Vamos combinar as condições:
  • Queremos f crescente, logo precisamos de \,a>0.
  • Queremos -\dfrac{b}{a} negativo e irracional. A desigualdade -\dfrac{b}{a}<0 é equivalente a \dfrac{b}{a}>0. Como escolhemos a>0, isso implica b>0. Além disso precisamos que \dfrac{b}{a} seja um número irracional positivo (assim -\dfrac{b}{a} será irracional negativo).

Passo 5

Construção prática (receita fácil de aplicar na prova): escolha qualquer a>0 e escolha um número irracional positivo r (por exemplo r=\sqrt{2}, ou r=\pi, ou r=e). Defina
b = a\,r.
Então a função fica
f(x)=ax + a r = a\bigl(x+r\bigr).
A raiz é
x_0 = -\frac{b}{a} = -r,
que é irracional e negativa porque r é irracional e positiva. E a>0 garante que f é crescente.

Passo 6

Agora um exemplo concreto e simples (o suficiente para entregar na prova e fácil de calcular na cabeça): escolha a=1 e r=\sqrt{2}. Então
f(x)=x+\sqrt{2}.
Verificação rápida:
  • Coeficiente a=1>0, logo f é crescente.
  • Raiz dada por x_0=-\dfrac{b}{a}=-\sqrt{2}, que é irracional e negativa.

Passo 7

Se quiser outro exemplo equivalente, basta multiplicar por qualquer a>0; por exemplo a=2 e r=\sqrt{2}
f(x)=2x+2\sqrt{2},
cuja raiz também é -\sqrt{2} e a função é crescente.

Resposta

f(x)=x+\sqrt{2}

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