Para cada item, dê um exemplo de uma função afim f, apresentando a expressão do tipo f(x)= a x+b, dado que:
Que seu gráfico está contido no semiplano y<0.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma função afim f da forma f(x)=ax+b tal que o gráfico de f esteja contido no semiplano y<0.”\n
Informações dadas e o que precisamos garantir:\n
  • A função é afim, isto é, tem a forma geral f(x)=ax+b, com a,b\in\mathbb{R}.\n
  • O gráfico de f é o conjunto \{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}.\n
  • O semiplano pedido é \{(x,y)\mid y<0\}.\n
  • Portanto a condição que precisamos satisfazer é: para todo x\in\mathbb{R} vale f(x)<0.\n
    Não vou resolver nada ainda neste passo; só deixei claro o que o problema exige e as informações que temos.

Passo 2

Vamos traduzir a condição geométrica para uma condição algébrica simples: pedir que o gráfico esteja contido em y<0 é pedir que
\text{para todo }x\in\mathbb{R}\text{, }f(x)<0.
Ou seja, precisamos de uma função f tal que \forall x\in\mathbb{R},\; ax+b<0.

Passo 3

Analisemos duas possibilidades para o coeficiente a: a\neq 0 e a=0. Vou mostrar por que a\neq 0 não pode funcionar.
Se a\neq 0, a função f(x)=ax+b é uma função linear com inclinação não nula. Para qualquer valor y_0\in\mathbb{R} podemos resolver ax+b=y_0 obtendo
x=\frac{y_0-b}{a},
portanto f assume todo valor real (a imagem é \mathbb{R}). Em particular, existe x tal que f(x)=0 (escolha y_0=0), ou mesmo f(x)>0 (escolha y_0=1). Assim, se a\neq 0 existe x com f(x)\ge 0, o que contradiz a exigência f(x)<0 para todo x. Logo a\neq 0 é impossível.
Observação intuitiva: uma reta inclinada para cima ou para baixo cruza todos os níveis de y, então não pode ficar estritamente abaixo do eixo x para todos os x.

Passo 4

Concluímos que necessariamente a=0. Então a função afim reduz-se a uma função constante:
f(x)=b\qquad(\text{com }a=0).
Agora aplique a condição f(x)<0 para todo x. Como f(x)=b para todo x, isso equivale a exigir
b<0.

Passo 5

Portanto a família completa de funções afins cujo gráfico está contido em y<0 é dada por
f(x)=b\quad\text{com}\quad b<0.
Isto significa: qualquer função constante negativa serve. Para a prova é bom lembrar esse raciocínio curto: se a inclinação não é zero a reta atinge y=0, então só constantes negativas funcionam.

Passo 6

Dou um exemplo concreto, como o enunciado pede “dê um exemplo”: escolha b=-1. Então
f(x)=-1
é uma função afim (com a=0 e b=-1) cujo gráfico é a reta horizontal y=-1, e claramente essa reta está contida no semiplano y<0 porque para todo x temos f(x)=-1<0. Isso verifica a condição pedida.

Resposta

f(x)=b com b<0
f(x)=-1

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