Para cada item, dê um exemplo de uma função afim
, apresentando a expressão do tipo
, dado que:
Que seu gráfico está contido no semiplano
.
Que seu gráfico está contido no semiplano
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma função afim
da forma
tal que o gráfico de
esteja contido no semiplano
.”\n
Informações dadas e o que precisamos garantir:\n
Informações dadas e o que precisamos garantir:\n
- A função é afim, isto é, tem a forma geral
, com .\n - O gráfico de
é o conjunto .\n - O semiplano pedido é
.\n - Portanto a condição que precisamos satisfazer é: para todo
vale .\n
Não vou resolver nada ainda neste passo; só deixei claro o que o problema exige e as informações que temos.
Passo 2
Vamos traduzir a condição geométrica para uma condição algébrica simples: pedir que o gráfico esteja contido em
é pedir que
Ou seja, precisamos de uma função
tal que
Passo 3
Analisemos duas possibilidades para o coeficiente
:
e
. Vou mostrar por que
não pode funcionar.
Se
, a função
é uma função linear com inclinação não nula. Para qualquer valor
podemos resolver
obtendo
portanto
assume todo valor real (a imagem é
). Em particular, existe
tal que
(escolha
), ou mesmo
(escolha
). Assim, se
existe
com
, o que contradiz a exigência
para todo
. Logo
é impossível.
Observação intuitiva: uma reta inclinada para cima ou para baixo cruza todos os níveis de
, então não pode ficar estritamente abaixo do eixo
para todos os
.
Passo 4
Concluímos que necessariamente
. Então a função afim reduz-se a uma função constante:
Agora aplique a condição
para todo
. Como
para todo
, isso equivale a exigir
Passo 5
Portanto a família completa de funções afins cujo gráfico está contido em
é dada por
Isto significa: qualquer função constante negativa serve. Para a prova é bom lembrar esse raciocínio curto: se a inclinação não é zero a reta atinge
, então só constantes negativas funcionam.
Passo 6
Dou um exemplo concreto, como o enunciado pede “dê um exemplo”: escolha
. Então
é uma função afim (com
e
) cujo gráfico é a reta horizontal
, e claramente essa reta está contida no semiplano
porque para todo
temos
. Isso verifica a condição pedida.