Apresente a distribuição de probabilidades para as seguintes variáveis aleatórias:
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, sabendo que 96 \% das peças são boas.

Passo 1

O enunciado pede: apresentar a distribuição de probabilidades para a variável aleatória “número de peças com defeito” em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, sabendo que 96\% das peças são boas.
Informações fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=3.
  • Fração de peças boas: 96\%, ou seja \,0,96.
  • Logo, probabilidade de uma peça ser defeituosa: p=1-0,96=0,04.
  • Objetivo: dar a probabilidade de a variável X (número de peças defeituosas na amostra) assumir 0,1,2,3.

Passo 2

Por que modelar isso com uma distribuição binomial? Explicando devagar e de forma prática:
  • Cada peça sorteada pode ser classificada como “defeituosa” (sucesso, probabilidade p) ou “não defeituosa” (fracasso, probabilidade 1-p). Esse tipo de experiência é chamado de ensaio de Bernoulli.
  • Uma sequência de n ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade de sucesso p é modelada por uma distribuição binomial.
  • Aqui o enunciado diz “grande lote”, o que justifica aproximar a amostra sem reposição por ensaios independentes com probabilidade constante p (pois a retirada de uma peça praticamente não altera a composição do lote).
  • Portanto usamos a distribuição binomial com parâmetros n e p.

Passo 3

Definições e fórmula geral (aula rápida):
  • Definir X como o número de peças defeituosas na amostra de tamanho n.
  • Para uma distribuição binomial com parâmetros n e p, a função massa de probabilidade é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k das n peças são defeituosas),
  • p é a probabilidade de defeito em uma peça,
  • k é o número de defeitos que estamos contando ( k=0,1,\dots,n).

Passo 4

Aplicando ao caso concreto:
  • Aqui \,n=3 e \,p=0,04.
  • Então, para k=0,1,2,3,
P(X=k)=\binom{3}{k} (0,04)^{k} (0,96)^{3-k}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes binomiais (pequena revisão):
\binom{3}{k}=\frac{3!}{k!(3-k)!}.
Logo:
\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{3}{1}=3,\qquad \binom{3}{2}=3,\qquad \binom{3}{3}=1.

Passo 6

Cálculo de cada probabilidade passo a passo (faça estas contas na prova sem calculadora seguindo multiplicações simples):
  1. Para k=0:
P(X=0)=\binom{3}{0}(0,04)^{0}(0,96)^{3}=1\cdot1\cdot(0,96)^{3}.
Calcule (0,96)^{2}=0,96\cdot0,96=0,9216.
Então (0,96)^{3}=0,9216\cdot0,96=0,884736.
Portanto P(X=0)=0,884736.
  1. Para k=1:
P(X=1)=\binom{3}{1}(0,04)^{1}(0,96)^{2}=3\cdot0,04\cdot0,9216.
Calcule 0,04\cdot0,9216=0,036864.
Multiplicando por 3 P(X=1)=0,110592.
  1. Para k=2:
P(X=2)=\binom{3}{2}(0,04)^{2}(0,96)^{1}=3\cdot(0,04)^{2}\cdot0,96.
Calcule (0,04)^{2}=0,0016.
Então 0,0016\cdot0,96=0,001536.
Multiplicando por 3 P(X=2)=0,004608.
  1. Para k=3:
P(X=3)=\binom{3}{3}(0,04)^{3}(0,96)^{0}=1\cdot(0,04)^{3}\cdot1.
Calcule (0,04)^{3}=0,000064.
Então P(X=3)=0,000064.

Passo 7

Verificação rápida (soma das probabilidades deve ser 1):
0,884736+0,110592+0,004608+0,000064=1,000000.
Ótimo — a soma dá 1, indicando consistência.

Resposta

P(X=0)=0,884736
P(X=1)=0,110592
P(X=2)=0,004608
P(X=3)=0,000064

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