Apresente a distribuição de probabilidades para as seguintes variáveis aleatórias:
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, sabendo que
das peças são boas.
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, sabendo que
Passo 1
O enunciado pede: apresentar a distribuição de probabilidades para a variável aleatória “número de peças com defeito” em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, sabendo que
das peças são boas.
Informações fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Fração de peças boas:
, ou seja . - Logo, probabilidade de uma peça ser defeituosa:
. - Objetivo: dar a probabilidade de a variável
(número de peças defeituosas na amostra) assumir .
Passo 2
Por que modelar isso com uma distribuição binomial? Explicando devagar e de forma prática:
- Cada peça sorteada pode ser classificada como “defeituosa” (sucesso, probabilidade
) ou “não defeituosa” (fracasso, probabilidade ). Esse tipo de experiência é chamado de ensaio de Bernoulli. - Uma sequência de
ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade de sucesso é modelada por uma distribuição binomial. - Aqui o enunciado diz “grande lote”, o que justifica aproximar a amostra sem reposição por ensaios independentes com probabilidade constante
(pois a retirada de uma peça praticamente não altera a composição do lote). - Portanto usamos a distribuição binomial com parâmetros
e .
Passo 3
Definições e fórmula geral (aula rápida):
- Definir
como o número de peças defeituosas na amostra de tamanho . - Para uma distribuição binomial com parâmetros
e , a função massa de probabilidade é
onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais das peças são defeituosas), -
é a probabilidade de defeito em uma peça, -
é o número de defeitos que estamos contando ( ).
Passo 4
Aplicando ao caso concreto:
- Aqui
e . - Então, para
,
Passo 5
Cálculo dos coeficientes binomiais (pequena revisão):
Logo:
Passo 6
Cálculo de cada probabilidade passo a passo (faça estas contas na prova sem calculadora seguindo multiplicações simples):
- Para
:
Calcule
.
Então .
Portanto .
Então
Portanto
- Para
:
Calcule
.
Multiplicando por dá
.
Multiplicando por
- Para
:
Calcule
.
Então .
Multiplicando por dá
.
Então
Multiplicando por
- Para
:
Calcule
.
Então .
Então
Passo 7
Verificação rápida (soma das probabilidades deve ser
):
Ótimo — a soma dá
, indicando consistência.