Seja X \sim \mathrm{~B}(10,2 / 5). Calcular:
\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 2)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória binomial e pede uma probabilidade acumulada. Informações fornecidas:
  • X\sim\mathrm{B}(10,\,2/5).
  • Queremos calcular \mathrm{P}(X\le 2).
Dados importantes que vamos usar (retirados do enunciado):
  • n=10.
  • p=2/5=0,4.
  • 1-p=3/5=0,6.

Passo 2

Apresentar a fórmula da distribuição binomial e explicar cada símbolo.
A probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio é dada por
\mathrm{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando os símbolos:
  • \mathrm{P}(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos.
  • \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomados k a k, calculado por \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
  • p^{k} é a probabilidade de obter os k sucessos.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k insucessos.
    No nosso caso, n=10 e p=0,4.

Passo 3

Transformar o pedido em soma de probabilidades puntuais:
\mathrm{P}(X\le 2)=\mathrm{P}(X=0)+\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2).
Agora vamos calcular cada termo usando a fórmula da binomial.

Passo 4

Calcular \mathrm{P}(X=0).
Usando a fórmula,
\mathrm{P}(X=0)=\binom{10}{0}\,0,4^{0}\,0,6^{10}=1\cdot1\cdot 0,6^{10}=0,6^{10}.
Calcular 0,6^{10} passo a passo:
0,6^{2}=0,36,\quad 0,6^{4}=0,36^{2}=0,1296,
0,6^{8}=0,1296^{2}=0,01679616,\quad 0,6^{10}=0,6^{8}\cdot0,6^{2}=0,01679616\cdot0,36=0,0060466176.
Portanto
\mathrm{P}(X=0)=0,0060466176.

Passo 5

Calcular \mathrm{P}(X=1).
Usando a fórmula,
\mathrm{P}(X=1)=\binom{10}{1}\,0,4^{1}\,0,6^{9}=10\cdot0,4\cdot0,6^{9}.
Como 0,6^{9}=0,6^{10}/0,6, temos
0,6^{9}=\frac{0,0060466176}{0,6}=0,010077696.
Logo
\mathrm{P}(X=1)=10\cdot0,4\cdot0,010077696=4\cdot0,010077696=0,040310784.

Passo 6

Calcular \mathrm{P}(X=2).
Primeiro a combinação:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
Depois,
\mathrm{P}(X=2)=45\cdot0,4^{2}\cdot0,6^{8}=45\cdot0,16\cdot0,6^{8}.
Já calculamos 0,6^{8}=0,01679616. Então
45\cdot0,16=7,2,
7,2\cdot0,01679616=7\cdot0,01679616+0,2\cdot0,01679616=0,11757312+0,003359232=0,120932352.
Portanto
\mathrm{P}(X=2)=0,120932352.

Passo 7

Somar as três probabilidades para obter \mathrm{P}(X\le 2):
\mathrm{P}(X\le 2)=0,0060466176+0,040310784+0,120932352=0,1672897536.
Arredondando para uma precisão prática (por exemplo, 4 casas decimais) obtém-se 0,1673. Mantendo a precisão dos cálculos, o valor é 0,1672897536.

Resposta

\,0{,}1672897536

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