Dados históricos mostram que 5 % dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
haver mais de dois itens defeituosos;

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Taxa histórica de itens defeituosos: 5\%.
  • Tamanho do lote: 20 itens.
  • Pergunta: calcular a probabilidade de haver mais de dois itens defeituosos no lote (ou seja, que o número de itens defeituosos seja maior que 2).

Passo 2

Modelo probabilístico e justificativa:
  • Quando há um número fixo de ensaios independentes (a inspeção de cada item), com probabilidade fixa de “sucesso” (aqui: “ser defeituoso”) em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial.
  • Definir a variável aleatória X como o número de itens defeituosos entre os 20. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=20,\;p=0,05\bigr),
onde n é o número de ensaios ( n=20) e p é a probabilidade de defeito em cada item ( p=0,05).
  • A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é:
P(X=k)=\binom{20}{k}\,p^{k}(1-p)^{20-k},
onde \binom{20}{k} é o número de formas de escolher k itens defeituosos entre 20.

Passo 3

Expressar o evento pedido em termos de X:
  • Queremos P(X>2).
  • Usamos que P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].
  • Vamos calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) e somá-los.

Passo 4

Calcular P(X=0):
P(X=0)=\binom{20}{0}\,p^{0}(1-p)^{20}=(1-p)^{20}=0,95^{20}.
Para computar 0,95^{20} de forma controlada: primeiro 0,95^{10}\approx0,5987369392 (pode ser obtido por multiplicações sucessivas) e então
0,95^{20}=\bigl(0,95^{10}\bigr)^{2}\approx0,5987369392^{2}\approx0,3584859224.
Portanto
P(X=0)\approx0,3584859224.

Passo 5

Calcular P(X=1):
P(X=1)=\binom{20}{1}\,p^{1}(1-p)^{19}=20\cdot0,05\cdot0,95^{19}.
Note que 20\cdot0,05=1, então
P(X=1)=0,95^{19}.
Usando 0,95^{19}=0,95^{20}/0,95, temos
P(X=1)\approx\frac{0,3584859224}{0,95}\approx0,3773530752.

Passo 6

Calcular P(X=2):
P(X=2)=\binom{20}{2}\,p^{2}(1-p)^{18}.
Calcule a combinação \binom{20}{2}: \binom{20}{2}=\dfrac{20\cdot19}{2}=190.
Logo
P(X=2)=190\cdot(0,05)^{2}\cdot0,95^{18}=190\cdot0,0025\cdot0,95^{18}=0,475\cdot0,95^{18}.
Usando 0,95^{18}=0,95^{20}/0,95^{2}=0,3584859224/0,9025, obtemos
0,95^{18}\approx0,3972132360,
portanto
P(X=2)\approx0,475\cdot0,3972132360\approx0,1886762871.

Passo 7

Somar as probabilidades parciais e obter a desejada:
P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0,3584859224+0,3773530752+0,1886762871\approx0,9245152847.
Portanto
P(X>2)=1-P(X\le2)\approx1-0,9245152847\approx0,0754847153.
Interpretação amigável: a probabilidade de encontrar mais de dois itens defeituosos em um lote de 20, quando a taxa é 5\%, é cerca de 7,55\%.

Passo 8

Cheque rápido (opcional, para ver que o resultado faz sentido):
  • A média esperada é np=20\cdot0,05=1. Com média 1, a probabilidade de obter mais de 2 sucessos é relativamente baixa; a aproximação de Poisson com \lambda=1 P(X>2)\approx0,0803, um valor próximo ao resultado exato 0,07548, o que aumenta a confiança no cálculo.

Resposta

0,07548

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