Dados históricos mostram que
dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
haver mais de dois itens defeituosos;
haver mais de dois itens defeituosos;
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Taxa histórica de itens defeituosos:
. - Tamanho do lote:
itens. - Pergunta: calcular a probabilidade de haver mais de dois itens defeituosos no lote (ou seja, que o número de itens defeituosos seja maior que
).
Passo 2
Modelo probabilístico e justificativa:
- Quando há um número fixo de ensaios independentes (a inspeção de cada item), com probabilidade fixa de “sucesso” (aqui: “ser defeituoso”) em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial.
- Definir a variável aleatória
como o número de itens defeituosos entre os . Então
onde
é o número de ensaios (
) e
é a probabilidade de defeito em cada item (
).
- A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é:
onde
é o número de formas de escolher
itens defeituosos entre
.
Passo 3
Expressar o evento pedido em termos de
:
- Queremos
. - Usamos que
. - Vamos calcular
, e e somá-los.
Passo 4
Calcular
:
Para computar
de forma controlada: primeiro
(pode ser obtido por multiplicações sucessivas) e então
Portanto
Passo 5
Calcular
:
Note que
, então
Usando
, temos
Passo 6
Calcular
:
Calcule a combinação
:
.
Logo
Logo
Usando
, obtemos
portanto
Passo 7
Somar as probabilidades parciais e obter a desejada:
Portanto
Interpretação amigável: a probabilidade de encontrar mais de dois itens defeituosos em um lote de
, quando a taxa é
, é cerca de
.
Passo 8
Cheque rápido (opcional, para ver que o resultado faz sentido):
- A média esperada é
. Com média , a probabilidade de obter mais de sucessos é relativamente baixa; a aproximação de Poisson com dá , um valor próximo ao resultado exato , o que aumenta a confiança no cálculo.