Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exemplo 4.25, Lathi: H(s)=\frac{20 s(s+100)}{(s+2)(s+10)}
Passo 1
O enunciado pede: "Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}". Informações fornecidas extraídas do enunciado:
Função de transferência: H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}.
Constantes/raizes:
Ganho multiplicativo K=20.
Zeros em s=0 (zero na origem) e s=-100.
Polos em s=-2 e s=-10.
O que é pedido: esboçar (a) o diagrama de magnitude em escala logarítmica (Bode magnitude, em dB) e (b) o diagrama de fase (em graus) — isto é, mostrar as retas-assíntotas e os valores aproximados/indicativos para construção do gráfico.
Passo 2
Primeira coisa: como montar um Bode passo a passo (receitinha didática):
Para a magnitude, trabalhamos em dB: a magnitude total é soma das contribuições em dB de cada fator. A regra:20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}K+\underbrace{20\log_{10}\omega}_{\text{zero na origem}}+\sum_{\text{zeros reais}}20\log_{10}|j\omega+z|-\sum_{\text{polos reais}}20\log_{10}|j\omega+p|.Na prática montamos assíntotas: cada zero simples adiciona +20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto; cada polo simples adiciona -20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto. O zero na origem já dá um termo +20\log_{10}\omega (ou seja, +20 dB/dec desde \omega\to0^+).
Para a fase, cada fator de primeira ordem tem contribuição de fase:
Zero na origem s → contribuição constante de +90^\circ.
Zero em (s+100) → contribuição \phantom{-}\angle(j\omega+100)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{100}\right) (em radianos; aqui escrevo em graus quando for conveniente).
Polo em (s+2) → contribuição -\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right).
Polo em (s+10) → contribuição -\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right).
Assim a fase total é
Nos esboços de Bode usamos também aproximação de fase em «reta por pedaços»: cada pólo/zero muda a fase aproximadamente entre uma década abaixo e uma década acima da frequência de canto (variação total \pm 90^\circ, com \pm45^\circ aproximadamente na frequência de canto).
Passo 3
Identificar as frequências de canto (rad/s) e comportamento inicial/final:
Cantos (extraídos das raízes):
\omega_1=2 (polo),
\omega_2=10 (polo),
\omega_3=100 (zero).
Comportamento de baixas e altas frequências:
Como há um zero na origem, quando \omega\to0^+ a magnitude tende a -\infty (portanto o gráfico começa muito baixo) e a inclinação inicial é +20\\ \text{dB/dec}.
Contando polos e zeros no final (para \omega\to\infty): dois zeros (um na origem e outro em 100) somam +40\\ \text{dB/dec}; dois polos somam -40\\ \text{dB/dec}. Logo, em altas frequências a inclinação líquida tende a 0\\ \text{dB/dec} (a resposta plana). Isso sugere que a curva será ascendente no começo e acabará plana no alto.
Passo 4
Montar assíntotas da magnitude (em dB) passo a passo.
Ganho em dB do termo constante:20\log_{10}20\approx 26{,}02\\ \text{dB}.
Regras de montagem assintótica (soma de retas):
Para \omega<2: só o zero na origem atua → inclinação +20\\ \text{dB/dec}.M_{\text{asy}}(\omega)=20\log_{10}20+20\log_{10}\omega.
Em \omega=2 aparece o polo em 2 → inclinação muda +20\to0 dB/dec. A assíntota é constante entre 2 e 10; seu valor assintótico logo após \omega=2 é o valor da reta anterior em \omega=2:M_{\text{asy}}(2)=20\log_{10}20+20\log_{10}2\approx 26{,}02+6{,}02=32{,}04\\ \text{dB}.
Em \omega=10 aparece o polo em 10 → inclinação muda 0\to-20 dB/dec. Assim entre 10 e 100 a inclinação é -20 dB/dec. O valor assintótico em \omega=10 vale 32{,}04 dB; para \omega>10 na assíntota:M_{\text{asy}}(\omega)=32{,}04\\ \text{dB}-20\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{10}\right),\qquad 10\le\omega<100.
Em \omega=100 aparece o zero em 100 → inclinação muda -20\to 0 dB/dec. O valor assintótico em \omega=100 éM_{\text{asy}}(100)=32{,}04\\ \text{dB}-20\log_{10}(10)=32{,}04-20=12{,}04\\ \text{dB},e para \omega\ge100 a assíntota fica plana em \approx 12{,}04\\ \text{dB}.
Observação importante (didática): essas são as assíntotas em retas; o diagrama exato estará deslocado perto das frequências de canto (normalmente até \sim\pm 5–12 dB de diferença localmente), por isso é útil calcular alguns pontos exatos para “ancorar” o esboço — a seguir eu faço isso.
Passo 5
Calcular alguns pontos exatos de magnitude para ancorar o esboço (mostrarei a conta detalhada para você poder replicar na prova).
Fórmula exata da magnitude:|H(j\omega)|=20\,\omega\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+100^{2}}{(\omega^{2}+2^{2})(\omega^{2}+10^{2})}}.Em dB:M(\omega)=20\log_{10}20+20\log_{10}\omega+10\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega^{2}+10000}{(\omega^{2}+4)(\omega^{2}+100)}\right).
Cálculos em pontos-chave (mostro a aritmética aproximada):
Para \omega=1:20\log_{10}20\approx26{,}0206,\qquad 20\log_{10}1=0,
Interpretação prática: os valores exatos mostram que o pico/níveis reais diferem das assíntotas (por exemplo, em \omega=10 o valor exato \sim42{,}9\\ \text{dB} é bem maior que a assíntota em \omega=10 que dava \sim32{,}04\\ \text{dB}). Ao esboçar, use as assíntotas como guia de inclinações e use alguns pontos exatos (por exemplo \omega=1,2,10,100) para posicionar corretamente a curva na prática.
Passo 6
Fase: expressão exata e alguns valores numéricos (com contas explicadas).
Fórmula exata (em graus):\varphi(\omega)=90^\circ+\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right),onde \arctan é em graus na tabela/avaliação final (ou em radianos e depois converte).
Calculemos \varphi(\omega) em pontos-chaves (aproximações):
Em \omega\ll2 a fase começa próxima de +90^\circ (por causa do zero na origem).
Ao redor de \omega=2 há uma transição negativa (polo em 2) que leva a fase para valores menores; ao redor de \omega=10 outra transição negativa ocorre; ao redor de \omega=100 o zero recupera fase positiva. No infinito a fase tende a 0^\circ (porque somatório de fases tende a +180^\circ-180^\circ=0^\circ).
Passo 7
Como desenhar o esboço (passo a passo, para você reproduzir rápido na prova):
Eixo horizontal: escolha escala log (por exemplo marcas em 0{,}1,1,10,100,1000). Marque os cantos \omega=2,10,100.
Magnitude:
Trace a assíntota inicial com inclinação +20\\ \text{dB/dec} partindo de baixo (porque zero na origem). A equação da reta para \omega<2 é M=26{,}02+20\log_{10}\omega.
Em \omega=2 mude a inclinação para 0\\ \text{dB/dec} (reta horizontal) com valor assintótico 32{,}04\\ \text{dB}.
Em \omega=10 mude a inclinação para -20\\ \text{dB/dec}.
Em \omega=100 mude a inclinação para 0\\ \text{dB/dec} (reta horizontal) com valor assintótico 12{,}04\\ \text{dB}.
Sobreponha os pontos exatos calculados (por exemplo M(1)\approx39{,}0\\ \text{dB}, M(2)\approx42{,}85\\ \text{dB}, M(10)\approx42{,}89\\ \text{dB}, M(100)\approx28{,}99\\ \text{dB}) e corrija a curva perto das frequências de canto (a curva real sobe a mais que a assíntota em algumas regiões).
Fase:
Comece em \approx +90^\circ para muito baixa frequência.
Entre \omega\approx0{,}2 e \omega\approx20 (uma década abaixo até uma acima de \omega=2) a fase sofre a transição do polo em 2 (cair até cerca de -45^\circ somado aos demais efeitos). Em \omega=2 a contribuição do polo está em -45^\circ aproximadamente.
Entre \omega\approx1 e \omega\approx100 a fase sofre a transição do polo em 10 (mais queda).
Entre \omega\approx10 e \omega\approx1000 há também a transição do zero em 100 (subida de fase até +90º acumulados).
Use os valores calculados para marcar pontos: \varphi(1)\approx58{,}3^\circ, \varphi(2)\approx34{,}8^\circ, \varphi(10)\approx-28{,}0^\circ, \varphi(100)\approx-36{,}4^\circ, \varphi(1000)\approx-4{,}0^\circ.
Resultado gráfico esperado (descrição): magnitude começa subindo (+20 dB/dec), atenua a taxa em \omega=2, fica praticamente plana até \omega=10 (assíntota), depois cai com -20 dB/dec até \omega=100, e por fim se niveliza para uma linha praticamente plana para \omega>100. A fase começa perto de +90^\circ, decai passando por \sim35^\circ em \omega=2, cruza valores negativos ao redor de \omega\sim10, atinge valor negativo por volta de -30^\circ a -40^\circ e retorna lentamente para 0^\circ em altas frequências.
Passo 8
Dicas práticas para prova (rapidinho e motivador):
Marque sempre os cantos: \omega=2,10,100. Estas três frequências determinam todas as mudanças de inclinação.
Desenhe as assíntotas rapidamente e depois coloque 3–5 pontos exatos (eu calculei 1,2,10,100,1000) para ajustar a curva real.
Para a fase, use a expressão com arctan quando quiser valores precisos (como mostrei), ou mão livre com transições ±90° distribuídas entre uma década abaixo e uma acima do canto.
Você consegue! siga o passo-a-passo e em 5–7 minutos faz um esboço decente na prova.
Resposta
Resumo final para desenhar o Bode de H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}:
Fase (fórmula e valores-chave):\varphi(\omega)=90^\circ+\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).Valores aproximados:
\varphi(0{,}1)\approx86{,}6^\circ,
\varphi(1)\approx58{,}3^\circ,
\varphi(2)\approx34{,}8^\circ,
\varphi(10)\approx-28{,}0^\circ,
\varphi(100)\approx-36{,}4^\circ,
\varphi(1000)\approx-4{,}0^\circ.
Observação final: desenhe as assíntotas de magnitude e fase, marque os cantos e depois ajuste a curva usando os pontos exatos listados — assim o esboço ficará rápido e fiel ao comportamento real. Boa sorte, você desenha isso numa boa na prova!