Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exemplo 4.25, Lathi: H(s)=\frac{20 s(s+100)}{(s+2)(s+10)}

Passo 1

O enunciado pede: "Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}". Informações fornecidas extraídas do enunciado:
  • Função de transferência: H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}.
  • Constantes/raizes:
    • Ganho multiplicativo K=20.
    • Zeros em s=0 (zero na origem) e s=-100.
    • Polos em s=-2 e s=-10.
  • O que é pedido: esboçar (a) o diagrama de magnitude em escala logarítmica (Bode magnitude, em dB) e (b) o diagrama de fase (em graus) — isto é, mostrar as retas-assíntotas e os valores aproximados/indicativos para construção do gráfico.

Passo 2

Primeira coisa: como montar um Bode passo a passo (receitinha didática):
  • Para a magnitude, trabalhamos em dB: a magnitude total é soma das contribuições em dB de cada fator. A regra: 20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}K+\underbrace{20\log_{10}\omega}_{\text{zero na origem}}+\sum_{\text{zeros reais}}20\log_{10}|j\omega+z|-\sum_{\text{polos reais}}20\log_{10}|j\omega+p|.Na prática montamos assíntotas: cada zero simples adiciona +20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto; cada polo simples adiciona -20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto. O zero na origem já dá um termo +20\log_{10}\omega (ou seja, +20 dB/dec desde \omega\to0^+).
  • Para a fase, cada fator de primeira ordem tem contribuição de fase:
    • Zero na origem s → contribuição constante de +90^\circ.
    • Zero em (s+100) → contribuição \phantom{-}\angle(j\omega+100)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{100}\right) (em radianos; aqui escrevo em graus quando for conveniente).
    • Polo em (s+2) → contribuição -\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right).
    • Polo em (s+10) → contribuição -\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right).
      Assim a fase total é
    \varphi(\omega)=90^\circ+\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
  • Nos esboços de Bode usamos também aproximação de fase em «reta por pedaços»: cada pólo/zero muda a fase aproximadamente entre uma década abaixo e uma década acima da frequência de canto (variação total \pm 90^\circ, com \pm45^\circ aproximadamente na frequência de canto).

Passo 3

Identificar as frequências de canto (rad/s) e comportamento inicial/final:
  • Cantos (extraídos das raízes):
    • \omega_1=2 (polo),
    • \omega_2=10 (polo),
    • \omega_3=100 (zero).
  • Comportamento de baixas e altas frequências:
    • Como há um zero na origem, quando \omega\to0^+ a magnitude tende a -\infty (portanto o gráfico começa muito baixo) e a inclinação inicial é +20\\ \text{dB/dec}.
    • Contando polos e zeros no final (para \omega\to\infty): dois zeros (um na origem e outro em 100) somam +40\\ \text{dB/dec}; dois polos somam -40\\ \text{dB/dec}. Logo, em altas frequências a inclinação líquida tende a 0\\ \text{dB/dec} (a resposta plana). Isso sugere que a curva será ascendente no começo e acabará plana no alto.

Passo 4

Montar assíntotas da magnitude (em dB) passo a passo.
  • Ganho em dB do termo constante: 20\log_{10}20\approx 26{,}02\\ \text{dB}.
  • Regras de montagem assintótica (soma de retas):
    • Para \omega<2: só o zero na origem atua → inclinação +20\\ \text{dB/dec}. M_{\text{asy}}(\omega)=20\log_{10}20+20\log_{10}\omega.
    • Em \omega=2 aparece o polo em 2 → inclinação muda +20\to0 dB/dec. A assíntota é constante entre 2 e 10; seu valor assintótico logo após \omega=2 é o valor da reta anterior em \omega=2: M_{\text{asy}}(2)=20\log_{10}20+20\log_{10}2\approx 26{,}02+6{,}02=32{,}04\\ \text{dB}.
    • Em \omega=10 aparece o polo em 10 → inclinação muda 0\to-20 dB/dec. Assim entre 10 e 100 a inclinação é -20 dB/dec. O valor assintótico em \omega=10 vale 32{,}04 dB; para \omega>10 na assíntota: M_{\text{asy}}(\omega)=32{,}04\\ \text{dB}-20\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{10}\right),\qquad 10\le\omega<100.
    • Em \omega=100 aparece o zero em 100 → inclinação muda -20\to 0 dB/dec. O valor assintótico em \omega=100 é M_{\text{asy}}(100)=32{,}04\\ \text{dB}-20\log_{10}(10)=32{,}04-20=12{,}04\\ \text{dB},e para \omega\ge100 a assíntota fica plana em \approx 12{,}04\\ \text{dB}.
  • Observação importante (didática): essas são as assíntotas em retas; o diagrama exato estará deslocado perto das frequências de canto (normalmente até \sim\pm 5 12 dB de diferença localmente), por isso é útil calcular alguns pontos exatos para “ancorar” o esboço — a seguir eu faço isso.

Passo 5

Calcular alguns pontos exatos de magnitude para ancorar o esboço (mostrarei a conta detalhada para você poder replicar na prova).
  • Fórmula exata da magnitude: |H(j\omega)|=20\,\omega\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+100^{2}}{(\omega^{2}+2^{2})(\omega^{2}+10^{2})}}.Em dB: M(\omega)=20\log_{10}20+20\log_{10}\omega+10\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega^{2}+10000}{(\omega^{2}+4)(\omega^{2}+100)}\right).
  • Cálculos em pontos-chave (mostro a aritmética aproximada):
    1. Para \omega=1: 20\log_{10}20\approx26{,}0206,\qquad 20\log_{10}1=0,
\frac{\omega^{2}+10000}{(\omega^{2}+4)(\omega^{2}+100)}=\frac{10001}{5\cdot101}=\frac{10001}{505}\approx19{,}8109,
10\log_{10}(19{,}8109)\approx12{,}967\\ \text{dB}.
 Soma:
 \[M(1)\approx26{,}02+0+12{,}97\approx38{,}99\\ \text{dB}.\]
  1. Para \omega=2: 20\log_{10}2\approx6{,}0206,\quad \frac{10004}{8\cdot104}=\frac{10004}{832}\approx12{,}027,
10\log_{10}(12{,}027)\approx10{,}81\\ \text{dB},
M(2)\approx26{,}02+6{,}02+10{,}81\approx42{,}85\\ \text{dB}.
  1. Para \omega=10: 20\log_{10}10=20,\quad \frac{10100}{104\cdot200}=\frac{10100}{20800}\approx0{,}48558,
10\log_{10}(0{,}48558)\approx-3{,}135\\ \text{dB},
M(10)\approx26{,}02+20-3{,}14\approx42{,}89\\ \text{dB}.
  1. Para \omega=100: 20\log_{10}100=40,\quad \frac{20000}{10004\cdot10100}\approx1{,}9797\times10^{-4},
10\log_{10}(1{,}9797\times10^{-4})\approx-37{,}036\\ \text{dB},
M(100)\approx26{,}02+40-37{,}04\approx28{,}99\\ \text{dB}.
  1. Para \omega=1000: 20\log_{10}1000=60,\quad 10\log_{10}(\text{fração})\approx-59{,}96,çã
M(1000)\approx26{,}02+60-59{,}96\approx26{,}06\\ \text{dB}.
  • Interpretação prática: os valores exatos mostram que o pico/níveis reais diferem das assíntotas (por exemplo, em \omega=10 o valor exato \sim42{,}9\\ \text{dB} é bem maior que a assíntota em \omega=10 que dava \sim32{,}04\\ \text{dB}). Ao esboçar, use as assíntotas como guia de inclinações e use alguns pontos exatos (por exemplo \omega=1,2,10,100) para posicionar corretamente a curva na prática.

Passo 6

Fase: expressão exata e alguns valores numéricos (com contas explicadas).
  • Fórmula exata (em graus): \varphi(\omega)=90^\circ+\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right),onde \arctan é em graus na tabela/avaliação final (ou em radianos e depois converte).
  • Calculemos \varphi(\omega) em pontos-chaves (aproximações):
    1. \omega=0{,}1:
      \arctan(0{,}1/100)\approx0{,}057^\circ,\\ \arctan(0{,}1/2)\approx2{,}862^\circ,\\ \arctan(0{,}1/10)\approx0{,}573^\circ. \varphi(0{,}1)\approx90+0{,}057-2{,}862-0{,}573\approx86{,}62^\circ.
    2. \omega=1:
      \arctan(1/100)\approx0{,}573^\circ,\\ \arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ,\\ \arctan(1/10)\approx5{,}711^\circ. \varphi(1)\approx90+0{,}573-26{,}565-5{,}711\approx58{,}30^\circ.
    3. \omega=2:
      \arctan(2/100)\approx1{,}146^\circ,\\ \arctan(2/2)=45^\circ,\\ \arctan(2/10)\approx11{,}310^\circ. \varphi(2)\approx90+1{,}146-45-11{,}310\approx34{,}84^\circ.
    4. \omega=10:
      \arctan(10/100)\approx5{,}711^\circ,\\ \arctan(10/2)\approx78{,}690^\circ,\\ \arctan(10/10)=45^\circ. \varphi(10)\approx90+5{,}711-78{,}690-45\approx-27{,}98^\circ.
    5. \omega=100:
      \arctan(100/100)=45^\circ,\\ \arctan(100/2)\approx87{,}138^\circ,\\ \arctan(100/10)\approx84{,}289^\circ. \varphi(100)\approx90+45-87{,}138-84{,}289\approx-36{,}43^\circ.
    6. \omega=1000:
      \arctan(1000/100)\approx84{,}289^\circ,\\ \arctan(1000/2)\approx89{,}885^\circ,\\ \arctan(1000/10)\approx89{,}427^\circ. \varphi(1000)\approx90+84{,}289-89{,}885-89{,}427\approx-4{,}02^\circ.
  • Observações qualitativas sobre a fase:
    • Em \omega\ll2 a fase começa próxima de +90^\circ (por causa do zero na origem).
    • Ao redor de \omega=2 há uma transição negativa (polo em 2) que leva a fase para valores menores; ao redor de \omega=10 outra transição negativa ocorre; ao redor de \omega=100 o zero recupera fase positiva. No infinito a fase tende a 0^\circ (porque somatório de fases tende a +180^\circ-180^\circ=0^\circ).

Passo 7

Como desenhar o esboço (passo a passo, para você reproduzir rápido na prova):
  1. Eixo horizontal: escolha escala log (por exemplo marcas em 0{,}1,1,10,100,1000). Marque os cantos \omega=2,10,100.
  2. Magnitude:
    • Trace a assíntota inicial com inclinação +20\\ \text{dB/dec} partindo de baixo (porque zero na origem). A equação da reta para \omega<2 é M=26{,}02+20\log_{10}\omega.
    • Em \omega=2 mude a inclinação para 0\\ \text{dB/dec} (reta horizontal) com valor assintótico 32{,}04\\ \text{dB}.
    • Em \omega=10 mude a inclinação para -20\\ \text{dB/dec}.
    • Em \omega=100 mude a inclinação para 0\\ \text{dB/dec} (reta horizontal) com valor assintótico 12{,}04\\ \text{dB}.
    • Sobreponha os pontos exatos calculados (por exemplo M(1)\approx39{,}0\\ \text{dB}, M(2)\approx42{,}85\\ \text{dB}, M(10)\approx42{,}89\\ \text{dB}, M(100)\approx28{,}99\\ \text{dB}) e corrija a curva perto das frequências de canto (a curva real sobe a mais que a assíntota em algumas regiões).
  3. Fase:
    • Comece em \approx +90^\circ para muito baixa frequência.
    • Entre \omega\approx0{,}2 e \omega\approx20 (uma década abaixo até uma acima de \omega=2) a fase sofre a transição do polo em 2 (cair até cerca de -45^\circ somado aos demais efeitos). Em \omega=2 a contribuição do polo está em -45^\circ aproximadamente.
    • Entre \omega\approx1 e \omega\approx100 a fase sofre a transição do polo em 10 (mais queda).
    • Entre \omega\approx10 e \omega\approx1000 há também a transição do zero em 100 (subida de fase até +90º acumulados).
    • Use os valores calculados para marcar pontos: \varphi(1)\approx58{,}3^\circ, \varphi(2)\approx34{,}8^\circ, \varphi(10)\approx-28{,}0^\circ, \varphi(100)\approx-36{,}4^\circ, \varphi(1000)\approx-4{,}0^\circ.
  4. Resultado gráfico esperado (descrição): magnitude começa subindo (+20 dB/dec), atenua a taxa em \omega=2, fica praticamente plana até \omega=10 (assíntota), depois cai com -20 dB/dec até \omega=100, e por fim se niveliza para uma linha praticamente plana para \omega>100. A fase começa perto de +90^\circ, decai passando por \sim35^\circ em \omega=2, cruza valores negativos ao redor de \omega\sim10, atinge valor negativo por volta de -30^\circ a -40^\circ e retorna lentamente para 0^\circ em altas frequências.

Passo 8

Dicas práticas para prova (rapidinho e motivador):
  • Marque sempre os cantos: \omega=2,10,100. Estas três frequências determinam todas as mudanças de inclinação.
  • Desenhe as assíntotas rapidamente e depois coloque 3–5 pontos exatos (eu calculei 1,2,10,100,1000) para ajustar a curva real.
  • Para a fase, use a expressão com arctan quando quiser valores precisos (como mostrei), ou mão livre com transições ±90° distribuídas entre uma década abaixo e uma acima do canto.
  • Você consegue! siga o passo-a-passo e em 5–7 minutos faz um esboço decente na prova.

Resposta

Resumo final para desenhar o Bode de H(s)=\dfrac{20\,s(s+100)}{(s+2)(s+10)}:
  • Cantos: \omega=2,\;10,\;100.
  • Assíntotas de magnitude (dB):
    • \omega<2:\\ M(\omega)=20\log_{10}20+20\log_{10}\omega (inclinação +20\\ \text{dB/dec}).
    • 2\le\omega<10:\\ M(\omega)\approx32{,}04\\ \text{dB} (plano).
    • 10\le\omega<100:\\ M(\omega)\approx32{,}04-20\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right) (inclinação -20\\ \text{dB/dec}).
    • \omega\ge100:\\ M(\omega)\approx12{,}04\\ \text{dB} (plano).
  • Pontos exatos úteis (para ancorar o esboço):
    • M(1)\approx38{,}99\\ \text{dB}.
    • M(2)\approx42{,}85\\ \text{dB}.
    • M(10)\approx42{,}89\\ \text{dB}.
    • M(100)\approx28{,}99\\ \text{dB}.
    • M(1000)\approx26{,}06\\ \text{dB}.
  • Fase (fórmula e valores-chave): \varphi(\omega)=90^\circ+\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).Valores aproximados:
    • \varphi(0{,}1)\approx86{,}6^\circ,
    • \varphi(1)\approx58{,}3^\circ,
    • \varphi(2)\approx34{,}8^\circ,
    • \varphi(10)\approx-28{,}0^\circ,
    • \varphi(100)\approx-36{,}4^\circ,
    • \varphi(1000)\approx-4{,}0^\circ.
  • Observação final: desenhe as assíntotas de magnitude e fase, marque os cantos e depois ajuste a curva usando os pontos exatos listados — assim o esboço ficará rápido e fiel ao comportamento real. Boa sorte, você desenha isso numa boa na prova!

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