Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas:
- Indicar se o sinal é periódico, justificando.
- Se for periódico, determinar o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há um termo constante
. - Há uma senoide com frequência angular
(isto é, ). - Há uma cossenoide com frequência angular
(isto é, ).
Passo 2
O que significa “ser periódico” e como verificar para somas de senos/cossenos:
- Definição: um sinal
é periódico se existe tal que vale . O menor com essa propriedade é o período fundamental. - Observação importante: um termo constante (aqui
) é periódico com qualquer período, então ele não impede periodicidade da soma. - Propriedade básica de seno e cosseno: uma função
ou é periódica com período
porque
(mesma ideia para o cosseno). Aqui vou usar isso explicitamente para cada termo.
Passo 3
Calcular os períodos individuais das componentes senoidais:
- Para
: , então
- Para
: , então
Passo 4
Quando a soma de duas funções periódicas é periódica:
- Em geral, a soma de duas funções periódicas com períodos
e é periódica se existe um que seja múltiplo inteiro de ambos e ; em outras palavras, se existe tais que
- Isso acontece exatamente quando a razão
é racional. Equivalentemente, a razão das frequências angulares também ser racional garante periodicidade (pois implica ).
Passo 5
Verificar a razão entre os períodos (ou entre as frequências):
- Calcular a razão dos períodos:
que é um número racional (
).
- Alternativamente, a razão das frequências angulares é
também racional. Portanto existe um
que é múltiplo inteiro de
e
, então a soma é periódica.
Passo 6
Determinar explicitamente o período fundamental:
- Queremos inteiros positivos mínimos
tais que .
A relaçãoimplica . Tomando os inteiros mínimos que realizam essa razão, escolhemos e (não existem inteiros positivos menores com essa razão pois e são primos entre si). - Então o menor período comum é
Verificação alternativa:
logo consistente. Como
e
são coprimos, não existe um múltiplo comum menor que
, então
é o período fundamental.
Passo 7
Checagem direta usando identidades trigonométricas (prova prática):
- Avaliando deslocamento por
,
porque
é múltiplo de
.
porque
é múltiplo de
.
- O termo constante
permanece igual. Assim ,
confirmando que
é um período. Como mostrado antes, é o menor período positivo possível (período fundamental).
Resposta
Periódico: Sim.
Período fundamental:
Período fundamental: