Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
x_{2}(t)=2+5 \operatorname{sen}(4 t)+4 \cos (7 t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x_{2}(t)=2+5\sin(4t)+4\cos(7t)
e pede duas coisas:
  • Indicar se o sinal é periódico, justificando.
  • Se for periódico, determinar o período fundamental.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um termo constante 2.
  • Há uma senoide com frequência angular \omega_{1}=4 (isto é, 5\sin(4t)).
  • Há uma cossenoide com frequência angular \omega_{2}=7 (isto é, 4\cos(7t)).

Passo 2

O que significa “ser periódico” e como verificar para somas de senos/cossenos:
  • Definição: um sinal x(t) é periódico se existe T>0 tal que \forall t vale x(t+T)=x(t). O menor T>0 com essa propriedade é o período fundamental.
  • Observação importante: um termo constante (aqui 2) é periódico com qualquer período, então ele não impede periodicidade da soma.
  • Propriedade básica de seno e cosseno: uma função A\sin(\omega t+\varphi) ou A\cos(\omega t+\varphi) é periódica com período
T=\frac{2\pi}{\omega},
porque \sin(\omega(t+T))=\sin(\omega t+ \omega T)=\sin(\omega t+2\pi)=\sin(\omega t) (mesma ideia para o cosseno). Aqui vou usar isso explicitamente para cada termo.

Passo 3

Calcular os períodos individuais das componentes senoidais:
  • Para 5\sin(4t): \omega_{1}=4, então
T_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{1}}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
  • Para 4\cos(7t): \omega_{2}=7, então
T_{2}=\frac{2\pi}{\omega_{2}}=\frac{2\pi}{7}.

Passo 4

Quando a soma de duas funções periódicas é periódica:
  • Em geral, a soma de duas funções periódicas com períodos T_{1} e T_{2} é periódica se existe um T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos T_{1} e T_{2}; em outras palavras, se existe n_{1},n_{2}\in\mathbb{Z}_{>0} tais que
n_{1}T_{1}=n_{2}T_{2}.
  • Isso acontece exatamente quando a razão T_{1}/T_{2} é racional. Equivalentemente, a razão das frequências angulares \omega_{1}/\omega_{2} também ser racional garante periodicidade (pois \omega_{1}/\omega_{2} = k_{1}/k_{2} implica k_{1}T_{1}=k_{2}T_{2}).

Passo 5

Verificar a razão entre os períodos (ou entre as frequências):
  • Calcular a razão dos períodos:
\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{\pi/2}{2\pi/7}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{7}{2\pi}=\frac{7}{4},
que é um número racional ( \tfrac{7}{4}).
  • Alternativamente, a razão das frequências angulares é
\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\frac{4}{7},
também racional. Portanto existe um T>0 que é múltiplo inteiro de T_{1} e T_{2}, então a soma é periódica.

Passo 6

Determinar explicitamente o período fundamental:
  • Queremos inteiros positivos mínimos n_{1},n_{2} tais que n_{1}T_{1}=n_{2}T_{2}.
    A relação T_{1}/T_{2}=\tfrac{7}{4} implica n_{1}/n_{2}=\tfrac{4}{7}. Tomando os inteiros mínimos que realizam essa razão, escolhemos n_{1}=4 e n_{2}=7 (não existem inteiros positivos menores com essa razão pois 4 e 7 são primos entre si).
  • Então o menor período comum é
T_{0}=n_{1}T_{1}=4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi.
Verificação alternativa:
T_{0}=n_{2}T_{2}=7\cdot\frac{2\pi}{7}=2\pi,
logo consistente. Como 4 e 7 são coprimos, não existe um múltiplo comum menor que 2\pi, então T_{0}=2\pi é o período fundamental.

Passo 7

Checagem direta usando identidades trigonométricas (prova prática):
  • Avaliando deslocamento por T_{0}=2\pi,
\sin(4(t+2\pi))=\sin(4t+8\pi)=\sin(4t)
porque 8\pi é múltiplo de 2\pi.
\cos(7(t+2\pi))=\cos(7t+14\pi)=\cos(7t)
porque 14\pi é múltiplo de 2\pi.
  • O termo constante 2 permanece igual. Assim \forall t,
x_{2}(t+2\pi)=x_{2}(t),
confirmando que 2\pi é um período. Como mostrado antes, é o menor período positivo possível (período fundamental).

Resposta

Periódico: Sim.
Período fundamental: 2\pi

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