Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exercício 4.9-1b, Lathi:
Exercício 4.9-1b, Lathi:
Passo 1
O enunciado pede: "Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para a função de transferência
Informações dadas e o que precisa ser desenhado:
- Zeros:
e (ou seja, zeros em e ). - Polos: polo duplo em
(dois integradores) e um polo em (ou seja, ). - Pede-se o diagrama de Bode: magnitude em escala logarítmica (dB vs
) e fase ( vs ), com os principais pontos assinalados e as assimptotas explicadas.
Passo 2
Conceitos-práticos que vamos usar (rapidinho, mastigado):
- Cada fator do tipo
(zero em ) contribui para a magnitude e para a fase. Para muito menor que ele age como constante ; para muito maior que ele age como . - Em magnitude (dB) cada zero de primeira ordem acrescenta uma inclinação de
a partir da freqüência de canto . Cada polo de primeira ordem acrescenta . Um polo em origem ( ) dá a partir de ; um polo duplo em origem dá (pois são dois integradores). - Na fase, cada zero de primeira ordem muda a fase em
(a rampa ocorre aproximadamente entre e ); cada polo de primeira ordem muda a fase em no mesmo intervalo. Um integrador ( ) contribui com fixo; dois integradores com fixo. - Fórmula prática para fase exata (útil para calcular valores numéricos): para
,
Aqui os dois
iniciais são os dois integradores (polo duplo em zero), os dois
positivos são os zeros em
e
, e o último
é o polo em
. (Explicação: a fase do fator
é
; a fase do fator
é
.)
Passo 3
Análise da magnitude — encontrar as frequências de canto e a inclinação em cada intervalo:
- Frequências de canto (breaks):
. Além disso existe comportamento em por causa dos polos em origem. - Para
(muito abaixo do menor zero), trate , , . Então
Em dB:
- Isso mostra que para baixas
a inclinação inicial é (por causa do no denominador). - Quando cruzamos
adicionamos um zero: a inclinação se altera em , passando de para . - Ao cruzar
adicionamos outro zero: inclinação muda mais , ficando (curva plana) entre e . - Ao cruzar
aparece um polo: inclinação muda , ficando para .
Passo 4
Construção prática da assimptota de magnitude (âncora num ponto e aplicar inclinações):
- Ancore em
(um ponto conveniente). Calcule o ganho exato em :
Em dB:
- Agora aplique as inclinações por intervalos (método das assimptotas):
- De
até (uma década) a inclinação é , logo em a assimptota dá
- Entre
e a inclinação é . Como (0,301 décadas), a variação é . Portanto a assimptota em é aproximadamente
- Entre
e a inclinação é , então a assimptota permanece até . - Para
a inclinação passa a ser . Assim em (uma década acima de 100) a assimptota seria .
- De
- Para comparação, calcular alguns valores exatos (úteis para posicionar pontos reais, não apenas a assimptota):
-
. -
(valor exato calculado). -
. -
. -
.
-
- Observação prática: as assimptotas dão linhas retas que facilitam o esboço; os valores exatos ficam alguns dBs afastados nas vizinhanças dos cantos, por isso é bom marcar os pontos exatos acima para ajustar a curva “real” suavemente.
Passo 5
Construção da fase — como pensar e como calcular:
- Como dito, soma-se a contribuição de cada fator. A expressão exata para a fase (em graus) é
Explicação: os dois polos em zero =
cada =
; cada zero em
tem fase
e o polo em
subtract
.
- Regra prática para esboço: cada zero em
faz a fase subir distribuídos entre e ; cada polo faz descer no mesmo intervalo. Assim: - O zero em 10 começa a influenciar a fase por volta de
e termina por volta de . - O zero em 20 começa por volta de
e termina por volta de . - O polo em 100 começa a atuar por volta de
e termina por volta de .
- O zero em 10 começa a influenciar a fase por volta de
- Valores numéricos úteis (usei arctan em graus para cada termo):
-
. Logo
-
. Logo
-
. Logo
-
. Logo
-
zeros praticamente em cada, polo em . Logo
-
- Limites:
- Para
: (somente os integradores dominam). - Para
: cada zero dá (total ), o polo em dá , então . Ou seja, a fase sobe de (em baixas ) para (em altas ), passando por valores intermediários nos cantos.
- Para
Passo 6
Como montar o esboço final (passo a passo para desenhar rápido na prova):
- Desenhe o eixo logaritmo de
. Marque (pelo menos). - Magnitude:
- No ponto
marque (âncora). - A partir de 1 até 10 trace uma linha com inclinação
até o valor assimptótico em (aprox. na assimptota). Ajuste a curva real passando por em . - Entre 10 e 20 trace uma linha com inclinação
(na assimptota); em a assimptota está em . O valor real em é . - Entre 20 e 100 trace uma linha quase plana (0 dB/dec) na assimptota (nível
), lembrando que o valor real em é . - Para
a inclinação passa a ; em o valor real é .
- No ponto
- Fase:
- Em
comece em . - Entre
e a fase sobe por causa dos zeros (com contribuição importante entre 1 e 100). Marque os valores calculados: . - Para
a fase aproxima-se de . - Use rampas (cada zero dá +90^\circ em cerca de 2 décadas centradas na sua
; o polo em 100 dá −90^\circ numa faixa centrada em 100). O traçado real é a soma das curvas , mas para esboço use os pontos numéricos acima e suavize.
- Em
- Ajuste final: conecte suavemente magnitude e fase com curvas que passam pelos pontos exatos que marcámos (especialmente nos cantos) e que seguem as inclinações das assimptotas longe dos cantos.
Resposta
Zeros:
. Polos:
(duplo),
.\newline
Magnitude (dB) — breaks em :
Magnitude (dB) — breaks em
- Slope inicial (baixo
): (pelo polo duplo em origem). - Após
: slope . - Após
: slope (plano). - Após
: slope .
Valores de referência (exatos aproximados): -
. -
. -
. -
. -
.\newline
Fase (graus) — expressão exata e limites:
Valores de referência:
-
. -
. -
. -
. -
(tende para quando ).