Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exercício 4.9-1b, Lathi: H(s)=\frac{(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+100)}

Passo 1

O enunciado pede: "Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para a função de transferência
H(s)=\frac{(s+10)(s+20)}{s^{2}(s+100)}.
Informações dadas e o que precisa ser desenhado:
  • Zeros: -10 e -20 (ou seja, zeros em \omega_{z1}=10 e \omega_{z2}=20).
  • Polos: polo duplo em s=0 (dois integradores) e um polo em -100 (ou seja, \omega_{p3}=100).
  • Pede-se o diagrama de Bode: magnitude em escala logarítmica (dB vs \log \omega) e fase ( ^\circ vs \log \omega), com os principais pontos assinalados e as assimptotas explicadas.

Passo 2

Conceitos-práticos que vamos usar (rapidinho, mastigado):
  • Cada fator do tipo (s+a) (zero em -a) contribui para a magnitude e para a fase. Para \omega muito menor que a ele age como constante a; para \omega muito maior que a ele age como j\omega.
  • Em magnitude (dB) cada zero de primeira ordem acrescenta uma inclinação de +20\\ \text{dB/dec} a partir da freqüência de canto \omega=a. Cada polo de primeira ordem acrescenta -20\\ \text{dB/dec}. Um polo em origem ( 1/s) dá -20\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=0; um polo duplo em origem dá -40\\ \text{dB/dec} (pois são dois integradores).
  • Na fase, cada zero de primeira ordem muda a fase em +90^\circ (a rampa ocorre aproximadamente entre \omega/10 e 10\omega); cada polo de primeira ordem muda a fase em -90^\circ no mesmo intervalo. Um integrador ( 1/s) contribui com -90^\circ fixo; dois integradores com -180^\circ fixo.
  • Fórmula prática para fase exata (útil para calcular valores numéricos): para \omega>0,
\varphi(\omega) = -90^\circ -90^\circ + \arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right) + \arctan\!\left(\frac{\omega}{20}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
Aqui os dois -90^\circ iniciais são os dois integradores (polo duplo em zero), os dois \arctan positivos são os zeros em 10 e 20, e o último -\arctan é o polo em 100. (Explicação: a fase do fator j\omega+a é \arctan(\omega/a); a fase do fator 1/j\omega é -90^\circ.)

Passo 3

Análise da magnitude — encontrar as frequências de canto e a inclinação em cada intervalo:
  • Frequências de canto (breaks): \omega=10,\\\ 20,\\\ 100. Além disso existe comportamento em \omega\to0 por causa dos polos em origem.
  • Para \omega\ll 10 (muito abaixo do menor zero), trate (j\omega+10)\approx 10, (j\omega+20)\approx 20, (j\omega+100)\approx 100. Então
|H(j\omega)|\approx\frac{10\cdot 20}{\omega^{2}\cdot 100}=\frac{2}{\omega^{2}}.
Em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)| \approx 20\log_{10}(2) -40\log_{10}(\omega).
  • Isso mostra que para baixas \omega a inclinação inicial é -40\\ \text{dB/dec} (por causa do s^2 no denominador).
  • Quando cruzamos \omega=10 adicionamos um zero: a inclinação se altera em +20\\ \text{dB/dec}, passando de -40 para -20\\ \text{dB/dec}.
  • Ao cruzar \omega=20 adicionamos outro zero: inclinação muda mais +20, ficando 0\\ \text{dB/dec} (curva plana) entre 20 e 100.
  • Ao cruzar \omega=100 aparece um polo: inclinação muda -20, ficando -20\\ \text{dB/dec} para \omega>100.

Passo 4

Construção prática da assimptota de magnitude (âncora num ponto e aplicar inclinações):
  • Ancore em \omega=1 (um ponto conveniente). Calcule o ganho exato em \omega=1:
|H(j1)|=\frac{\sqrt{1^{2}+10^{2}}\;\sqrt{1^{2}+20^{2}}}{1^{2}\sqrt{1^{2}+100^{2}}}\approx\frac{10{,}0499\cdot 20{,}025}{1\cdot 100{,}005}\approx 2{,}0099.
Em dB:
20\log_{10}|H(j1)|\approx 20\log_{10}(2{,}0099)\approx 6{,}06\\ \text{dB}.
  • Agora aplique as inclinações por intervalos (método das assimptotas):
    • De \omega=1 até \omega=10 (uma década) a inclinação é -40\\ \text{dB/dec}, logo em \omega=10 a assimptota dá
    6{,}06\\ \text{dB} -40\\ \text{dB} = -33{,}94\\ \text{dB}\\ \text{(assimptota)}.
    • Entre \omega=10 e \omega=20 a inclinação é -20\\ \text{dB/dec}. Como 20/10=2 (0,301 décadas), a variação é -20\cdot\log_{10}(2)\approx -6{,}02\\ \text{dB}. Portanto a assimptota em \omega=20 é aproximadamente
    -33{,}94\\ \text{dB} -6{,}02\\ \text{dB} = -39{,}96\\ \text{dB}.
    • Entre \omega=20 e \omega=100 a inclinação é 0\\ \text{dB/dec}, então a assimptota permanece \approx -39{,}96\\ \text{dB} até \omega=100.
    • Para \omega>100 a inclinação passa a ser -20\\ \text{dB/dec}. Assim em \omega=1000 (uma década acima de 100) a assimptota seria -39{,}96 -20 = -59{,}96\\ \text{dB}.
  • Para comparação, calcular alguns valores exatos (úteis para posicionar pontos reais, não apenas a assimptota):
    • \omega=1:\\\ 20\log_{10}|H(j1)|\approx 6{,}06\\ \text{dB}.
    • \omega=10:\\\ 20\log_{10}|H(j10)|\approx -30{,}04\\ \text{dB} (valor exato calculado).
    • \omega=20:\\\ 20\log_{10}|H(j20)|\approx -36{,}19\\ \text{dB}.
    • \omega=100:\\\ 20\log_{10}|H(j100)|\approx -42{,}79\\ \text{dB}.
    • \omega=1000:\\\ 20\log_{10}|H(j1000)|\approx -60{,}04\\ \text{dB}.
  • Observação prática: as assimptotas dão linhas retas que facilitam o esboço; os valores exatos ficam alguns dBs afastados nas vizinhanças dos cantos, por isso é bom marcar os pontos exatos acima para ajustar a curva “real” suavemente.

Passo 5

Construção da fase — como pensar e como calcular:
  • Como dito, soma-se a contribuição de cada fator. A expressão exata para a fase (em graus) é
\varphi(\omega) = -180^\circ + \arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right) + \arctan\!\left(\frac{\omega}{20}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
Explicação: os dois polos em zero = -90^\circ cada = -180^\circ; cada zero em a tem fase \arctan(\omega/a) e o polo em 100 subtract \arctan(\omega/100).
  • Regra prática para esboço: cada zero em a faz a fase subir +90^\circ distribuídos entre \omega=a/10 e \omega=10a; cada polo faz descer -90^\circ no mesmo intervalo. Assim:
    • O zero em 10 começa a influenciar a fase por volta de \omega\approx 1 e termina por volta de \omega\approx 100.
    • O zero em 20 começa por volta de \omega\approx 2 e termina por volta de \omega\approx 200.
    • O polo em 100 começa a atuar por volta de \omega\approx 10 e termina por volta de \omega\approx 1000.
  • Valores numéricos úteis (usei arctan em graus para cada termo):
    • \omega=1: \arctan(1/10)\approx 5{,}71^\circ,\\ \arctan(1/20)\approx 2{,}86^\circ,\\ \arctan(1/100)\approx 0{,}57^\circ. Logo
    \varphi(1)\approx -180 +5{,}71 +2{,}86 -0{,}57 \approx -172{,}0^\circ.
    • \omega=10: \arctan(10/10)=45^\circ,\\ \arctan(10/20)\approx 26{,}57^\circ,\\ \arctan(10/100)\approx 5{,}71^\circ. Logo
    \varphi(10)\approx -180 +45 +26{,}57 -5{,}71 \approx -114{,}14^\circ.
    • \omega=20: \arctan(20/10)\approx 63{,}43^\circ,\\ \arctan(20/20)=45^\circ,\\ \arctan(20/100)\approx 11{,}31^\circ. Logo
    \varphi(20)\approx -180 +63{,}43 +45 -11{,}31 \approx -82{,}88^\circ.
    • \omega=100: \arctan(100/10)\approx 84{,}29^\circ,\\ \arctan(100/20)\approx 78{,}69^\circ,\\ \arctan(100/100)=45^\circ. Logo
    \varphi(100)\approx -180 +84{,}29 +78{,}69 -45 \approx -62{,}02^\circ.
    • \omega=1000: zeros praticamente em +90^\circ cada, polo em -\arctan(1000/100)\approx -84{,}29^\circ. Logo
    \varphi(1000)\approx -180 +90 +90 -84{,}29 \approx -84{,}29^\circ\\ (\text{aprox}\\\ -86^\circ\\ \text{com cálculo exato}).á
  • Limites:
    • Para \omega\to 0: \varphi\to -180^\circ (somente os integradores dominam).
    • Para \omega\to\infty: cada zero dá +90^\circ (total +180^\circ), o polo em 100 -90^\circ, então \varphi(\infty)=-180+180-90=-90^\circ. Ou seja, a fase sobe de -180^\circ (em baixas \omega) para -90^\circ (em altas \omega), passando por valores intermediários nos cantos.

Passo 6

Como montar o esboço final (passo a passo para desenhar rápido na prova):
  1. Desenhe o eixo logaritmo de \omega. Marque \omega=1,\\\ 10,\\\ 20,\\\ 100,\\\ 1000 (pelo menos).
  2. Magnitude:
    • No ponto \omega=1 marque +6{,}06\\ \text{dB} (âncora).
    • A partir de 1 até 10 trace uma linha com inclinação -40\\ \text{dB/dec} até o valor assimptótico em \omega=10 (aprox. -33{,}94\\ \text{dB} na assimptota). Ajuste a curva real passando por -30{,}04\\ \text{dB} em \omega=10.
    • Entre 10 e 20 trace uma linha com inclinação -20\\ \text{dB/dec} (na assimptota); em \omega=20 a assimptota está em \approx -39{,}96\\ \text{dB}. O valor real em \omega=20 é \approx -36{,}19\\ \text{dB}.
    • Entre 20 e 100 trace uma linha quase plana (0 dB/dec) na assimptota (nível \approx -39{,}96\\ \text{dB}), lembrando que o valor real em \omega=100 é \approx -42{,}79\\ \text{dB}.
    • Para \omega>100 a inclinação passa a -20\\ \text{dB/dec}; em \omega=1000 o valor real é \approx -60{,}04\\ \text{dB}.
  3. Fase:
    • Em \omega\ll 1 comece em -180^\circ.
    • Entre \omega\approx 1 e \omega\approx 100 a fase sobe por causa dos zeros (com contribuição importante entre 1 e 100). Marque os valores calculados: \varphi(1)\approx -172^\circ,\\ \varphi(10)\approx -114^\circ,\\ \varphi(20)\approx -83^\circ,\\ \varphi(100)\approx -62^\circ.
    • Para \omega\gg 100 a fase aproxima-se de -90^\circ.
    • Use rampas (cada zero dá +90^\circ em cerca de 2 décadas centradas na sua \omega; o polo em 100 dá −90^\circ numa faixa centrada em 100). O traçado real é a soma das curvas \arctan(\omega/a), mas para esboço use os pontos numéricos acima e suavize.
  4. Ajuste final: conecte suavemente magnitude e fase com curvas que passam pelos pontos exatos que marcámos (especialmente nos cantos) e que seguem as inclinações das assimptotas longe dos cantos.

Resposta

Zeros: -10,\\\ -20. Polos: s=0 (duplo), -100.\newline
Magnitude (dB) — breaks em \omega=10,20,100:
  • Slope inicial (baixo \omega): -40\\ \text{dB/dec} (pelo polo duplo em origem).
  • Após \omega=10: slope -20\\ \text{dB/dec}.
  • Após \omega=20: slope 0\\ \text{dB/dec} (plano).
  • Após \omega=100: slope -20\\ \text{dB/dec}.
    Valores de referência (exatos aproximados):
  • \omega=1:\\\ 20\log_{10}|H(j1)|\approx 6{,}06\\ \text{dB}.
  • \omega=10:\\ \approx -30{,}04\\ \text{dB}.
  • \omega=20:\\ \approx -36{,}19\\ \text{dB}.
  • \omega=100:\\ \approx -42{,}79\\ \text{dB}.
  • \omega=1000:\\ \approx -60{,}04\\ \text{dB}.\newline
    Fase (graus) — expressão exata e limites:
\varphi(\omega) = -180^\circ + \arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right) + \arctan\!\left(\frac{\omega}{20}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
Valores de referência:
  • \varphi(1)\approx -172{,}0^\circ.
  • \varphi(10)\approx -114{,}15^\circ.
  • \varphi(20)\approx -82{,}88^\circ.
  • \varphi(100)\approx -62{,}02^\circ.
  • \varphi(1000)\approx -86{,}3^\circ (tende para -90^\circ quando \omega\to\infty).

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