Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o esboço do diagrama de Bode da função
Isso é assunto de Sistemas de Controle, mais especificamente análise de resposta em frequência.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Identificar os polos e o ganho DC;
- Encontrar as frequências de “canto” (breakpoints) desses polos;
- Montar as retas assimptóticas de magnitude (em dB) e de fase (em graus);
- Desenhar o comportamento aproximado do ganho e da fase em função da frequência.
Passo 2
Primeiro vamos pôr
numa forma padrão
.
Logo:
- Ganho estático
; - Polos em
,rad/s e ,rad/s.
O ganho DC é
Passo 3
Agora a magnitude:
- Para
, estamos abaixo de ambos os cantos, então
- Para
mas , só o pólo em 0,1 rad/s cortou, então a reta cai a dB/década. - Para
, os dois polos já estão ativos, cai a dB/década.
Se quisermos desenho assimptótico:
- Reta em 0 dB até
. - A partir de
dB/década até . - Depois
dB/década.
Nos cantos cada polo dá um desvio de
dB em
, mas no esboço de reta a gente pode ignorar esses “degraus” e ficar só com linhas retas.
Passo 4
Agora a fase: cada pólo de 1ª ordem dá uma variação de 0° pra
, espalhada num intervalo de uma década antes e depois da frequência de canto.
- O pólo em
começa a virar a fase em (−5°), chega a −45° em 0,1 rad/s e vai a −90° em 1 rad/s. - O pólo em
começa lá em 0,1 rad/s (−5°), passa por −45° em 1 rad/s e chega a −90° em 10 rad/s.
Somando as duas curvas:
- Para
, fase perto de 0°. - De 0,01 a 0,1: cai de 0° a ≈−45°.
- De 0,1 a 1: soma dos dois “meio-polos”: vai de ≈−45° a ≈−135°.
- De 1 a 10: só o segundo pólo continua descendo, de −135° a −180°.
- Acima de 10 rad/s estabiliza em −180°.
Resposta
Diagrama de Bode (esboçado):
-
Magnitude (dB) vs. log ω:
- 0 dB até ω=0,1;
- −20 dB/déc até ω=1;
- −40 dB/déc acima.
-
Fase (°) vs. log ω:
- 0° até ω≈0,01;
- cai a −45° em ω=0,1;
- cai a −135° em ω=1;
- vai a −180° em ω=10 e permanece lá.