Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
G(s)=s+10s^2(s+5)(s^2+4 s+8)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente desenhar (no bom e velho “esboço”) o diagrama de Bode de
.
Isso é matéria de Sistemas de Controle / Resposta em Frequência: a gente vai decompor a função de transferência em polos e zeros, achar as frequências de canto e depois montar as retas aproximadas de magnitude e fase. Não precisa saber tudo de cor, basta entender como cada fator influencia o gráfico.

Passo 2

Primeiro, “quebra” em fatores fáceis de entender:
  • Zero em → frequência de canto rad/s, acrescenta +20 dB/dec acima de 10.
  • Polos em com multiplicidade 2 (integrador duplo) → +0 dB em baixo mas slope de –40 dB/dec desde o início.
  • Polo em rad/s, gera –20 dB/dec a partir de 5.
  • Polos complexos de . Aqui rad/s e . Isso dá salto total de –40 dB/dec depois de 2,83 e fase varia de 0 a –180° em torno dessa frequência.

Passo 3

Agora monta o esqueleto do módulo (em dB vs log ω):
  1. Para ω≪2,83, só o integrador duplo conta: slope –40 dB/dec.
  2. Em ω=2,83 (pólos complexos): soma mais –40 dB/dec → total –80 dB/dec acima de 2,83.
  3. Em ω=5: surge mais um pólo → vai a –100 dB/dec para ω>5.
  4. Em ω=10: entra o zero → alivia 20 dB/dec, passando para –80 dB/dec para ω>10.
    Para ancorar verticalmente, podemos usar um ponto de referência em ω=1 rad/s:
    |G(j1)| ≈ 20 log₁₀(√(1²+10²)) – [20 log₁₀(1²) + 20 log₁₀(1+5) + 20 log₁₀|1 + j4 +8|] ≈ 20 dB – 33,7 dB = –13,7 dB.
    Então no ponto ω=1 o traço passa em –13,7 dB, caindo com –40 dB/dec até 2,83, etc.

Passo 4

Desenha a reta do módulo:
  • Até ω=2,83: reta passando em –13,7 dB em ω=1, caindo –40 dB/dec.
  • De 2,83 a 5: a inclinação dobra pra –80 dB/dec.
  • De 5 a 10: –100 dB/dec.
  • Acima de 10: –80 dB/dec (por causa do zero).

Passo 5

Agora a fase φ(ω): soma as fases de cada fator:
  • Integrador duplo: –180° fixos.
  • Polo real em 5: vai de 0° a –90° entre 0,5 e 50 rad/s (aprox “1 deca antes e depois de 5”).
  • Polo complexo em 2,83: vai de 0° a –180° entre 0,283 e 28,3 rad/s, com centro em 2,83.
  • Zero em 10: de 0° a +90° entre 1 e 100 rad/s (centro em 10).
    Somando tudo, dá um φ que começa em –180°, depois mergulha até quase –450° (–180 – 90 – 180) na faixa entre 0,3 e 50, depois alivia +90° após ω≈10.

Resposta

Esquema final (apenas qualitativo):
Módulo (dB) vs log ω:
• ω<2,83: slope –40 dB/dec, valor ≈–13,7 dB em ω=1
• 2,83–5: slope –80 dB/dec
• 5–10: slope –100 dB/dec
• ω>10: slope –80 dB/dec
Fase (°) vs log ω:
• Inicia em –180° (integrador duplo)
• Desce para –270° em torno de ω=5 (pólo real)
• Desce para –360° em torno de ω=2,83 (pólos complexos)
• Sobe +90° em torno de ω=10 (zero)
Pronto, com essas retas você faz o seu esboço de Bode!

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