Seja a matriz abaixo:
Calcule a matriz A=[ccc 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3 ].

Passo 1

Beleza, o exercício diz: temos a matriz
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
e queremos calcular A = P,D,P^-1, . Isso faz parte de “exponencial de matriz”, e a forma mais tranquila é usar diagonalização: se a gente achar uma matriz exp(A) ;=; P,exp(D),P^-1, que diagonaliza como
então
onde é só a exponencial de cada entrada de na diagonal.
Para isso vamos precisar:
  1. achar autovalores e autovetores de ,
  2. montar e ,
  3. inverter ,
  4. calcular e voltar com .

Passo 2

Primeiro, os autovalores de lambda^3 - 8lambda^2 + 19lambda -12 = 0, . A gente faz v1 = 121 . O polinômio dá
v2 = 10-1
cujas raízes são v3 = 1-11 , e .
Agora achamos um autovetor para cada :
  • Para , resolvemos e obtemos
  • Para ,
  • Para ,

Passo 3

Com isso montamos
P = 1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 1 & -1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4
Calculando P^-1 = tfrac16 & tfrac13 & tfrac16[6pt] tfrac12 & 0 & -tfrac12[6pt] tfrac13 & -tfrac13 & tfrac13 (via adjunta/divisor de determinante) obtemos

Passo 4

Agora exp(D) = e^1 & 0 & 0 0 & e^3 & 0 0 & 0 & e^4 é só colocar exp(A) = P,exp(D),P^-1 em cada autovalor na diagonal:
Então
Fazendo a multiplicação (vários produtos de colunas por linhas) chega-se ao resultado final, que é simétrico:

Resposta

exp(A) = dfrace6+dfrace^32+dfrace^43 & dfrace - e^43 & dfrace6-dfrace^32+dfrace^43 [8pt] dfrace - e^43 & dfrac2e + e^43 & dfrace - e^43 [8pt] dfrace6-dfrace^32+dfrace^43 & dfrace - e^43 & dfrace6+dfrace^32+dfrace^43

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