*19. Se
e
são transposições de
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
são transposições em
(ou seja, cada
é uma permutação que troca exatamente dois elementos e deixa os outros fixos). A tarefa é mostrar que
onde
é a permutação identidade de
.
Informações relevantes dadas:
- Cada
é uma transposição (um ciclo de comprimento ). - Queremos provar que o produto das três transposições não é a identidade.
Passo 2
Vou explicar um conceito-chave que vou usar: a paridade (ou sinal) de uma permutação. Para uma permutação
, define-se o número de inversões de
como o número de pares
com
tais que
. Chamo esse número de
.
Com essa definição, define-se o sinal (ou paridade) de
por
Explicando: se
é par, então
(a permutação é par); se
é ímpar, então
(a permutação é ímpar). A identidade
tem
, logo
.
Passo 3
Propriedade fundamental que usaremos (e que vale para qualquer
):
Intuição/justificativa simples: ao compor permutações, as inversões “se somam” módulo
; portanto o expoente em
soma-se módulo
, o que dá o produto dos sinais. Esta propriedade mostra que
é um homomorfismo de grupos de
para o grupo multiplicativo
.
Passo 4
Agora vamos ver o sinal de uma transposição. Seja
uma transposição (com
). É fácil ver que
tem número de inversões ímpar, portanto
. Uma explicação concreta: escrevendo
como produto de transposições adjacentes (trocas de elementos adjacentes na ordem natural), a transposição
pode ser escrita como
que é um produto de
transposições adjacentes — um número ímpar. Assim qualquer transposição tem decomposição em um número ímpar de transposições adjacentes, o que implica que sua paridade é ímpar, isto é,
(Em termos do número de inversões: trocar dois elementos altera o número de inversões em um número ímpar, daí o mesmo resultado.)
Passo 5
Usando a multiplicatividade do sinal e o fato de que cada
é uma transposição com sinal
, obtemos
Portanto o produto
é uma permutação ímpar (tem sinal
).
Passo 6
Como a identidade
tem
, não pode ser igual a uma permutação com sinal
. Assim
Isto conclui a demonstração: o produto de três transposições é ímpar e, portanto, não pode ser a identidade.