*19. Se \mu_{1}, \mu_{2} e \mu_{3} são transposições de S_{n}, mostre que \mu_{1} \mu_{2} \mu_{3} \neq e.

Passo 1

O enunciado dá que \mu_{1},\mu_{2},\mu_{3} são transposições em S_{n} (ou seja, cada \mu_{i} é uma permutação que troca exatamente dois elementos e deixa os outros fixos). A tarefa é mostrar que
\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\neq e,
onde e é a permutação identidade de S_{n}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada \mu_{i} é uma transposição (um ciclo de comprimento 2).
  • Queremos provar que o produto das três transposições não é a identidade.

Passo 2

Vou explicar um conceito-chave que vou usar: a paridade (ou sinal) de uma permutação. Para uma permutação \sigma\in S_{n}, define-se o número de inversões de \sigma como o número de pares (i,j) com 1\le i<j\le n tais que \sigma(i)>\sigma(j). Chamo esse número de \mathrm{inv}(\sigma).
Com essa definição, define-se o sinal (ou paridade) de \sigma por
\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\mathrm{inv}(\sigma)}.
Explicando: se \mathrm{inv}(\sigma) é par, então \operatorname{sgn}(\sigma)=+1 (a permutação é par); se \mathrm{inv}(\sigma) é ímpar, então \operatorname{sgn}(\sigma)=-1 (a permutação é ímpar). A identidade e tem \mathrm{inv}(e)=0, logo \operatorname{sgn}(e)=+1.

Passo 3

Propriedade fundamental que usaremos (e que vale para qualquer \sigma,\tau\in S_{n}):
\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).
Intuição/justificativa simples: ao compor permutações, as inversões “se somam” módulo 2; portanto o expoente em (-1)^{\mathrm{inv}(\cdot)} soma-se módulo 2, o que dá o produto dos sinais. Esta propriedade mostra que \operatorname{sgn} é um homomorfismo de grupos de S_{n} para o grupo multiplicativo \{\pm1\}.

Passo 4

Agora vamos ver o sinal de uma transposição. Seja \tau=(a\\ b) uma transposição (com a\neq b). É fácil ver que \tau tem número de inversões ímpar, portanto \operatorname{sgn}(\tau)=-1. Uma explicação concreta: escrevendo \tau como produto de transposições adjacentes (trocas de elementos adjacentes na ordem natural), a transposição (a\\ b) pode ser escrita como
(a\\ b)=(a\\ a+1)(a+1\\ a+2)\cdots(b-1\\ b)\cdot(b-1\\ b-2)\cdots(a+1\\ a),
que é um produto de 2(b-a)-1 transposições adjacentes — um número ímpar. Assim qualquer transposição tem decomposição em um número ímpar de transposições adjacentes, o que implica que sua paridade é ímpar, isto é,
\operatorname{sgn}\bigl((a\\ b)\bigr)=-1.
(Em termos do número de inversões: trocar dois elementos altera o número de inversões em um número ímpar, daí o mesmo resultado.)

Passo 5

Usando a multiplicatividade do sinal e o fato de que cada \mu_{i} é uma transposição com sinal -1, obtemos
\operatorname{sgn}(\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}) =\operatorname{sgn}(\mu_{1})\operatorname{sgn}(\mu_{2})\operatorname{sgn}(\mu_{3}) =(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=(-1)^{3}=-1.
Portanto o produto \mu_{1}\mu_{2}\mu_{3} é uma permutação ímpar (tem sinal -1).

Passo 6

Como a identidade e tem \operatorname{sgn}(e)=+1, não pode ser igual a uma permutação com sinal -1. Assim
\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\neq e.
Isto conclui a demonstração: o produto de três transposições é ímpar e, portanto, não pode ser a identidade.

Resposta

\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\neq e

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