*20. Nessa questão faça o seguinte:
a) Determine todos os 2 -ciclos e os 3 -ciclos de S_{4}. [Dica: existem seis 2 -ciclos e oito 3-ciclos.]
*b) Se 1<r \leq n, descreva uma fórmula para calcular o número de r-ciclos em S_{n}. [Dica: use o fato de que existem r maneiras de representar um r-ciclo.]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Em S_{4} determinar todos os 2-ciclos e todos os 3-ciclos. (Foi dada a dica: existem seis 2-ciclos e oito 3-ciclos.)
  • (b) Para 1<r\le n, descrever uma fórmula que calcula o número de r-ciclos em S_{n}. (Foi dada a dica: use que existem r maneiras de representar um r-ciclo.)
Informações relevantes que vamos usar:
  • Um r-ciclo é uma permutação que move exatamente r elementos em um ciclo e deixa os outros fixos.
  • Diferentes representações cíclicas que são rotações uma da outra representam a mesma permutação (por exemplo (1\\\ 2\\\ 3)=(2\\\ 3\\\ 1)=(3\\\ 1\\\ 2)).
  • No problema (a) trabalharemos com n=4; no (b) queremos uma fórmula em função de n e r.

Passo 2

O que é um r-ciclo e como representá-lo (aula curta e intuitiva).
  • Um r-ciclo usa exatamente r elementos distintos a_1,a_2,\dots,a_r e envia a_1\mapsto a_2,\\ a_2\mapsto a_3,\\ \dots,\\ a_{r-1}\mapsto a_r,\\ a_r\mapsto a_1. Escrevemos isso como (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_r).
  • Observação sobre representações: qualquer rotação cíclica da tupla dá a mesma permutação. Ou seja,
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_r) = (a_2\\ \dots\\ a_r\\ a_1) = \dots = (a_r\\ a_1\\ \dots\\ a_{r-1}).
Existem exatamente r formas de escrever o mesmo r-ciclo por rotações.
  • Consequência prática para contagem: ao contar sequências ordenadas de r elementos que formam um ciclo, devemos dividir por r para não contar múltiplas representações da mesma permutação.

Passo 3

Contagem e lista dos 2-ciclos em S_{4} (transposições).
  • Um 2-ciclo troca dois elementos e fixa os outros. Em S_{4} escolhemos 2 elementos dentre 4, o número de escolhas é \binom{4}{2}=6.
  • As seis transposições (colocadas em notação cíclica) são:
(1\\\ 2),\\ (1\\\ 3),\\ (1\\\ 4),\\ (2\\\ 3),\\ (2\\\ 4),\\ (3\\\ 4).
  • Explicação didática: cada transposição é única porque trocar i com j é diferente de trocar i com k se j\neq k; não há problema de representação múltipla aqui porque (i\\ j)=(j\\ i) já é a mesma escrita (apenas uma forma de representar).

Passo 4

Contagem e lista dos 3-ciclos em S_{4}.
  • Para um 3-ciclo escolhemos 3 elementos dentre 4: \binom{4}{3}=4 escolhas de subconjunto.
  • Para cada subconjunto de 3 elementos, quantos 3-ciclos distintos existem? Uma permutação cíclica de 3 elementos tem 3! ordens, mas cada ciclo é representado de 3 maneiras por rotação, então o número distinto por subconjunto é \dfrac{3!}{3}=2. (Equivalente: (3-1)!=2.)
  • Portanto o total é 4\cdot 2=8.
  • Listando-os de forma sistemática (cada subconjunto dá dois ciclos):
(1\\\ 2\\\ 3),\\ (1\\\ 3\\\ 2),\\ (1\\\ 2\\\ 4),\\ (1\\\ 4\\\ 2),\\ (1\\\ 3\\\ 4),\\ (1\\\ 4\\\ 3),\\ (2\\\ 3\\\ 4),\\ (2\\\ 4\\\ 3).
  • Dica prática para a prova: para listar sem repetição, escolha subconjuntos em ordem lexicográfica e, para cada subconjunto \{a,b,c\} com a<b<c, escreva (a\\ b\\ c) e (a\\ c\\ b).

Passo 5

Derivação geral da fórmula para o número de r-ciclos em S_{n}.
Método 1 (ordenando e dividindo pelas rotações):
  • Primeiro conte sequências ordenadas de r elementos distintos escolhidos dentre n. Isso é
n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}.
  • Cada r-ciclo é representado por r dessas sequências (as rotações), então dividimos por r. Assim obtemos
\frac{1}{r}\cdot\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{n!}{(n-r)!\,r}.
Método 2 (escolhendo subconjunto e contando ciclos distintos):
  • Escolha um conjunto de r elementos: \binom{n}{r} maneiras.
  • Para cada conjunto, o número de ciclos distintos é (r-1)! (porque entre as r! permutações ordenadas, as r rotações representam o mesmo ciclo, restando \dfrac{r!}{r}=(r-1)! ciclos).
  • Multiplicando,
\binom{n}{r}(r-1)!.
  • Essas duas expressões são equivalentes; de fato
\binom{n}{r}(r-1)! = \frac{n!}{r!(n-r)!}\,(r-1)! = \frac{n!}{(n-r)!\,r}.

Passo 6

Verificações rápidas e interpretações (úteis para prova).
  • Caso r=2: a fórmula dá \dfrac{n!}{(n-2)!\,2}=\binom{n}{2}, que é o número de transposições — faz sentido.
  • Caso r=n: a fórmula dá \dfrac{n!}{0!\,n}=(n-1)!, o clássico número de ciclos que usam todos os elementos (n-ciclos).
  • Lembre-se sempre do motivo da divisão por r: evitar contar rotações equivalentes do mesmo ciclo.

Passo 7

Resumo curto e dica final para a prova (ânimo).
  • Para listar ciclos no exame, escolha subconjuntos ordenados (por exemplo começando pelo menor elemento) e gere as (r-1)! permutações-ciclo por subconjunto; isso evita repetições e confusão.
  • Você está indo bem; respira, faz com calma cada escolha de subconjunto e logo pega o jeito de listar rápido.

Resposta

(a) Os 2-ciclos em S_{4} são (1\\\ 2),\\ (1\\\ 3),\\ (1\\\ 4),\\ (2\\\ 3),\\ (2\\\ 4),\\ (3\\\ 4).
Os 3-ciclos em S_{4} são (1\\\ 2\\\ 3),\\ (1\\\ 3\\\ 2),\\ (1\\\ 2\\\ 4),\\ (1\\\ 4\\\ 2),\\ (1\\\ 3\\\ 4),\\ (1\\\ 4\\\ 3),\\ (2\\\ 3\\\ 4),\\ (2\\\ 4\\\ 3).
(b) O número de r-ciclos em S_{n} (para 1<r\le n) é
\frac{n!}{(n-r)!\,r}=\binom{n}{r}(r-1)!.

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