Apresente uma parametrizaçãoo diferenciável para as seguintes curvas planas:
C=(x, y) in R^2 ; x^24+y^2=1, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização diferenciável da curva plana definida pela equação x^24+y^2=1 com a condição x>=0. O conteúdo envolvido é a parametrização de uma elipse, usando conhecimentos de funções trigonométricas e propriedades de differentiabilidade.

Passo 2

Para parametrizar a elipse geral x^2a^2+y^2b^2=1, lembramos que a escolha clássica é
x=acos t,
y=bsin t,
pois ao substituir obtemos
(acos t)^2a^2+(bsin t)^2b^2=cos^2 t+sin^2 t=1

Passo 3

No nosso caso temos a=2 e b=1, então uma parametrização para a elipse inteira é
x(t)=2cos t,
y(t)=sin t Precisamos restringir ao ramo com x>=0. Como cos t>=0 exatamente para tin[-tfracpi2,tfracpi2], escolhemos esse domínio para garantir que o parâmetro percorra só a metade direita da elipse.

Passo 4

Verificamos que x(t)=2cos t e y(t)=sin t são combinações de funções seno e cosseno, que são C^infty em R. Logo a parametrização é diferenciável em todo o intervalo escolhido.

Resposta

Uma parametrização diferenciável é
gamma(t)=l(2cos t,,sin tr), tinl[-tfracpi2,tfracpi2r]

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