1. Achar f(x, y), se
[
f(x+y, x-y)=x y+y^{2} .

Passo 1

Resumindo: temos uma função de duas variáveis tal que f(x+y,,x-y)=x y+y^2. O objetivo é achar a expressão de f(u,,v) e depois renomear (u,v) para (x,y).

Passo 2

Para inverter a transformação, definimos u=x+y e v=x-y. Somando e subtraindo essas equações, obtemos:
u+v=2x
u-v=2y
Logo,
x=u+v2, y=u-v2

Passo 3

Agora substituímos x e y na expressão f(u,v)=x y+y^2:
x y=u+v2cdotu-v2=u^2-v^24,
y^2=l(u-v2r)^2=u^2-2uv+v^24

Passo 4

Somando os dois termos:
f(u,v)=u^2-v^24+u^2-2uv+v^24=2u^2-2uv4=u^2-uv2
Renomeando (u,v) para (x,y), temos a forma final de f(x,y).

Resposta

f(x,y)=tfracx^2-xy2

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